有限域GF(2^n)下求多项式乘法

在有限域GF(2^n)下，多项式乘法可以通过布尔运算来实现。具体来说，我们可以将每个多项式看作一个二进制数，然后使用位运算来代替乘法运算。

设多项式A和B的次数分别为m和n，则它们的乘积C的次数为m+n。因此，我们需要创建一个长度为m+n+1的数组来存储C的系数。

具体的多项式乘法算法如下：

1. 初始化C为长度为m+n+1的全零数组。
2. 对于B的每一位bi，如果bi为1，则将A左移i位，并将结果与C异或。
3. 返回C作为结果。

下面是一个示例代码，假设A和B都是长度为n的多项式：

def poly_multiply(A, B):
    n = len(A)
    C = [0] * (2 * n)
    for i in range(n):
        if B[i] == 1:
            C[i:i+n] = [a^b for a, b in zip(C[i:i+n], A)]
    return C

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，但是由于每个多项式都可以表示为一个长度为n的二进制数，因此可以使用更高效的位运算来实现，从而将时间复杂度降低到O(n*logn)。

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python 有限域函数库_有限域GF(2^8)内乘法代码实现以及原理

在Python中实现有限域GF(2^8)内乘法，可以使用多项式乘法的方式来实现。具体的原理如下：

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GF(2^8)内的乘法可以通过多项式乘法来实现。例如，如果我们要计算多项式x^7 + x^6 + x^4 + x^3 + 1和多项式x^3 + x^2 + x，则可以将它们相乘得到一个15次多项式，然后将其对一个特定的生成多项式g(x)取模，得到的余数就是它们在GF(2^8)内的乘积。通常，生成多项式g(x)的系数是一个二进制数，例如，g(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1，可以表示为二进制数100011101。

下面是一个Python实现有限域GF(2^8)内乘法的代码示例：

def gf_mul(a, b):
    p = 0
    for i in range(8):
        if b & 1:
            p ^= a
        hi_bit_set = a & 0x80
        a <<= 1
        if hi_bit_set:
            a ^= 0x1b
        b >>= 1
    return p % 256

def gf_pow(x, power):
    res = 1
    while power > 0:
        if power & 1:
            res = gf_mul(res, x)
        x = gf_mul(x, x)
        power >>= 1
    return res

def gf_div(a, b):
    if b == 0:
        raise ZeroDivisionError()
    p = gf_pow(b, 254)
    return gf_mul(a, p)

a = 0x57
b = 0x83
print(hex(gf_mul(a, b)))  # 输出0xc1

在这个示例中，我们定义了三个函数：gf_mul()、gf_pow()和gf_div()。gf_mul()函数实现了GF(2^8)内的乘法，gf_pow()函数实现了幂运算，gf_div()函数实现了除法运算。其中，gf_mul()函数使用了在GF(2^8)内进行乘法运算的方法，gf_pow()函数使用了快速幂算法，gf_div()函数使用了GF(2^8)内的除法运算的方法。

在实际应用中，有限域GF(2^8)内的乘法和幂运算是常用的操作，例如在AES加密算法中，就使用了GF(2^8)内的乘法和幂运算来实现。