MATLAB编程序实现列主元消元法求解线性方程组

MATLAB是一种强大的数值计算环境，可以方便地编写程序来实现各种数学算法，包括列主元消元法（也称为高斯消元法）。列主元消元法主要用于求解线性方程组 Ax = b 的解，其中 A 是系数矩阵，x 是未知数向量，b 是常数项。

以下是使用MATLAB的基本步骤：

1. 初始化变量：创建矩阵A、向量b，并假设它们都是已知的。

A = [a11 a12 ... a1n; % 系数矩阵
   a21 a22 ... a2n;
   ... ... ... ...;
   am1 am2 ... amn]; % m 行 n 列
b = [b1; b2; ...; bm]; % 常数项

2. 使用`fullpivot`选项执行行交换操作以确保最大绝对值元素位于当前列的上方。这在`linsolve`函数内部自动处理，但也可以手动实现。

3. 转置矩阵A（如果需要），并将它与b相左乘以得到阶梯形矩阵（Rouché-Capelli 方案）。

[~, ~, P] = lu(A); % lu分解，返回单位下三角矩阵L和对角矩阵U以及行交换数组P
A_tilde = P'*A'; % 表示转置后的矩阵
b_tilde = P'*b; % 更新常数项

4. 从上到下，逐行消除非零元素。将U除以第一列的元素得到第一列的解，然后用这个解替换原方程组的第一个方程。

5. 对于剩余的方程，重复上述过程，直到最后一列。

6. 反向回代，从最后一行开始，利用已经解出的元素更新前面的未知数。

7. 结果存储在向量x中，通过`x = U \ b_tilde`得到。

x = U \ b_tilde; % 解得的结果