曲面 2 e z z+x y 6=0 上点 m(2,2,0) 处 切平面方程
时间: 2023-12-16 12:01:34 浏览: 32
首先,我们可以使用曲面的法向量来求得切平面的方程。曲面2e^zzy6=0的法向量可以通过对该曲面的方程取梯度得到。该曲面的方程可以写成F(x,y,z)=2e^zzy6=0,对F(x,y,z)分别对x,y,z求偏导数,并取得梯度,则有:
∇F = ( ∂F/∂x , ∂F/∂y , ∂F/∂z )
= ( 2ze^z , 2e^z , 2x^2e^z )
所以曲面2e^zzy6=0的法向量为N = (2ze^z, 2e^z, 2x^2e^z)。然后,在点m(2,2,0)处,法向量N的值可以代入,得到法向量N在该点的值为N(2,2,0)=(4,2,0)。
接下来,我们可以使用点m(2,2,0)以及法向量N(4,2,0)来建立切平面的方程。切平面的方程一般形式为Ax+By+Cz+D=0,其中(A,B,C)为切平面的法向量,D为平面的常数项。由于我们已经有了点m(2,2,0)处的法向量N(4,2,0),所以我们可以直接得到切平面的方程:
4(x-2) + 2(y-2) + 0(z-0) = 0
4x - 8 + 2y - 4 = 0
4x + 2y - 12 = 0
因此,点m(2,2,0)处的切平面方程为4x + 2y - 12 = 0。
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求出曲面z=√x^2+切平面法线方程并画出图形matlab
首先,求出曲面的梯度向量:
∇z = (∂z/∂x, ∂z/∂y, ∂z/∂z) = (x/√(x^2), 0, 1)
因此,切平面的法向量就是梯度向量的负向量:
n = (-x/√(x^2), 0, -1)
接下来,我们需要确定切平面经过曲面上的一个点。由于曲面的方程是z=√x^2,我们可以选择点(x0, 0, √x0^2),其中x0为任意实数。
切平面的方程可以表示为:
n · (x, y, z) = n · (x0, 0, √x0^2)
将n和(x0, 0, √x0^2)代入上式,可以得到切平面的方程为:
-x0/√(x0^2) (x-x0) - z + √x0^2 = 0
我们可以在Matlab中绘制曲面和切平面的图形,代码如下:
% 设置x和y的范围
x = linspace(-5, 5, 50);
y = linspace(-5, 5, 50);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% 计算z值
Z = sqrt(X.^2);
% 绘制曲面
surf(X, Y, Z);
hold on;
% 选择曲面上的一个点
x0 = 2;
% 计算切平面的方程
n = [-x0/sqrt(x0^2) 0 -1];
p = [x0 0 sqrt(x0^2)];
syms x y;
eqn = dot(n, [x y sqrt(x^2)]) == dot(n, p);
fplot3(x, y, sqrt(x^2));
fimplicit3(eqn, [-5 5 -5 5 -5 5], 'EdgeColor', 'None');
% 设置图形属性
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
title('曲面 z = \surd{x^2} 与切平面的图形');
axis equal;
grid on;
view(45, 30);
X^2+y^2+z^2=1求切平面为什么对x求导时把y,z看作常量
在求切平面时,我们需要找到曲面上某一点的切向量,然后以该向量为法向量建立切平面。对于一般的曲面,切向量可以通过对曲面方程在该点处求偏导数得到。具体地,对于曲面方程 $F(x,y,z)=0$,在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为 $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$,其中 $\nabla F$ 表示 $F$ 的梯度向量。注意,梯度向量的每个分量都是对应变量的偏导数。
在本题中,曲面方程为 $x^2 y^2 z^2=1$。我们需要求该曲面在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量,其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 满足方程 $x_0^2 y_0^2 z_0^2=1$。对该方程两边同时取对数,得到 $\ln(x_0)+\ln(y_0)+\ln(z_0)=0$。因此,我们可以将曲面方程写成 $F(x,y,z)=\ln(x)+\ln(y)+\ln(z)$,在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的梯度向量为
$$
\nabla F(x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{1}{x_0},\frac{1}{y_0},\frac{1}{z_0}\right)
$$
这里的偏导数是对应变量在该点处的导数。因为在求切向量时,我们只需要在某一点处求偏导数,而不需要对整个曲面求导数,所以在对 $x$ 求导时,我们可以将 $y$ 和 $z$ 看作常量,因为它们在该点处的值已经确定了。这样,我们就可以得到在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为
$$
\left(\frac{1}{x_0},0,0\right)
$$
最后,我们以该向量为法向量建立切平面。