qt 直线和圆弧交点

### Qt 中计算直线与圆弧交点的算法

为了在Qt中实现计算直线与圆弧交点的功能，可以采用以下方法：

#### 方法描述
首先定义圆心`c`以及半径`r`表示圆。对于一条直线`l`，通过求解圆心到该直线上任意一点之间的距离并判断其是否等于给定的半径值来确定是否存在交点。

具体来说，先找到圆心`c`在直线`l`上的投影点`pr`[^1]。接着计算出直线`l`上单位方向向量`e`。基于已知条件中的半径长度`r`和上述获得的数据，进一步推导出位于圆内部那段线段两端的位置坐标。最终利用公式 `pr ± base * e` 来获取两个可能存在的交点位置。

当涉及到具体的编程实践时，在C++环境下借助于Qt框架完成此功能，则需注意数据结构的选择及相应API的应用。例如，可选用QPointF类存储二维平面内的点坐标信息，并调用qSqrt()函数辅助进行平方根运算等操作。

下面给出一段简单的代码片段用于说明如何在Qt环境中执行这一过程：

#include <QLineF>
#include <QPointF>

std::vector<QPointF> findIntersectionPoints(const QPointF& center, qreal radius,
                                            const QLineF& line) {
    std::vector<QPointF> intersections;
    
    // Calculate projection point pr on the line from circle's center c.
    auto t = (line.dx()*(center.x()-line.p1().x()) +
              line.dy()*(center.y()-line.p1().y())) /
             qPow(line.length(), 2);
             
    QPointF projPoint = line.pointAt(t);

    // Compute unit direction vector of the given line l.
    QVector2D dirVec(static_cast<float>(line.dx()), static_cast<float>(line.dy()));
    dirVec.normalize();

    // Determine distance between projected point and original center.
    qreal distToProjPt = sqrt(qPow(center.x()-projPoint.x(), 2)+
                              qPow(center.y()-projPoint.y(), 2));

    if(distToProjPt > radius){
        return {}; // No intersection points found when d>r.
    }

    // If exactly one solution exists because it touches at tangent.
    if(qAbs(radius*radius-distToProjPt*distToProjPt)<0.0001){
        intersections.push_back(projPoint);
        return intersections;
    }
    
    // Otherwise calculate two possible solutions using formula derived earlier.
    qreal halfChordLen = qSqrt(radius*radius - distToProjPt*distToProjPt);
    QVector2D offset(halfChordLen * (-dirVec.y()),
                     halfChordLen * (+dirVec.x()));

    intersections.emplace_back(QPointF(projPoint + QPointF(offset.toPointF())));
    intersections.emplace_back(QPointF(projPoint - QPointF(offset.toPointF())));

    return intersections;
}

这段程序展示了怎样在一个基于Qt的应用程序里寻找指定圆周同某一直线相交之处的具体做法。它接收三个参数——代表圆心坐标的`QPointF`对象、浮点型变量作为半径大小以及`QLineF`类型的线条实例；返回的是由所有符合条件的交叉节点组成的列表。