一次二次三次Bezier曲线用定义法和矩阵法

贝塞尔曲线(Bézier curves)是一种常用的方式来描述二维图形的平滑路径，包括直线和圆形在内的许多形状都可以通过组合三次贝塞尔曲线得到。以下是关于一次、二次和三次贝塞尔曲线的定义和表示方法：

1. **一次贝塞尔曲线** (Linear Bézier Curve):
- 它由两个点定义，即起点 `P0` 和终点 `P1`。这种贝塞尔曲线是一条直接连接两点的直线，没有控制点，数学表达式可以简单地表示为：

     P(t) = (1-t) * P0 + t * P1

其中 `t` 在区间 `[0, 1]`。

2. **二次贝塞尔曲线** (Quadratic Bézier Curve):
- 由三个点定义，起始点 `P0`，控制点 `P1` 和结束点 `P2`。它描述了一条从 `P0` 出发，经过 `P1` 后到达 `P2` 的光滑曲线。计算公式为：

     P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2(1-t)t * P1 + t^2 * P2

3. **三次贝塞尔曲线** (Cubic Bézier Curve):
- 最复杂的一种，需要四个点：起始点 `P0`，第一控制点 `P1`，第二控制点 `P2` 和终点 `P3`。其路径比二次贝塞尔更圆滑，表达式为：

     P(t) = (1-t)^3 * P0 + 3(1-t)^2 * t * P1 + 3*(1-t)*t^2 * P2 + t^3 * P3

**矩阵法**：
- 对于三次贝塞尔曲线来说，也可以用矩阵形式来表示。将四个顶点作为向量放入矩阵中，然后用时间参数 `t` 乘以该矩阵，再取结果的前两个分量就得到了对应时刻的曲线坐标。这个过程称为贝塞尔插值，通常用4x4的控制矩阵来表示：

| 1   0   0   0 |
| 3*t  3   -6  0 |
| 3*(1-t)^2  -6*(1-t)   3   0 |
| (1-t)^3  0       0   1 |

矩阵左上角元素乘以P0，中间部分乘以P1，右下角乘以P2，然后加在一起得到最终的结果。