已知三次Bezier曲线的控制多边形的4个控制点P0(3,3),P1(9,6),P2(21,9),P3(30,0) ，利用三次Bezier曲线的定义求该三次Bezier曲线在t=0,t=1/3,t=2/3,t=1 的坐标值。

好的，让我帮您计算一下。根据三次Bezier曲线的定义，曲线上点的坐标可以表示为:

B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3t(1-t)^2 * P1 + 3t^2(1-t) * P2 + t^3 * P3

其中 t 为参数，取值范围为 [0,1]。

将给定的四个控制点带入公式，得到该三次Bezier曲线的控制方程为:

B(t) = (-t^3 + 3t^2 - 3t + 1) * P0 + (3t^3 - 6t^2 + 3t) * P1 + (-3t^3 + 3t^2) * P2 + (t^3) * P3

代入 t=0，t=1/3，t=2/3，t=1 分别计算得到曲线上的点坐标为:

t=0，B(0) = P0 = (3, 3)
t=1/3，B(1/3) = (120/27, 174/27) ≈ (4.444, 6.444)
t=2/3，B(2/3) = (360/27, 126/27) ≈ (13.333, 4.667)
t=1，B(1) = P3 = (30, 0)

以上就是所求的答案，希望能够帮到您。

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： 已知三次Bezier曲线的控制多边形的4个控制点P0(3,3),P1(9,6),P2(21,9),P3(30,0) ，利用三次Bezier曲线的定义求该三次Bezier曲线在t=0,t=1/3,t=2/3,t=1 的坐标值。

首先，根据三次Bezier曲线的定义公式，在给定的控制点下，该曲线可以表示为：

B(t)=(1-t)^3P0+3t(1-t)^2P1+3t^2(1-t)P2+t^3P3

将t=0,1/3,2/3和1代入上面的公式，就可以计算出对应的坐标值：

当t=0时，B(0)=(1-0)^3P0+3×0(1-0)^2P1+3×0^2(1-0)P2+0^3P3=3, 3

当t=1/3时，B(1/3)=(1-1/3)^3P0+3×1/3(1-1/3)^2P1+3×(1/3)^2(1-1/3)P2+(1/3)^3P3=9, 6

当t=2/3时，B(2/3)=(1-2/3)^3P0+3×2/3(1-2/3)^2P1+3×(2/3)^2(1-2/3)P2+(2/3)^3P3=21, 9

当t=1时，B(1)=(1-1)^3P0+3×1(1-1)^2P1+3×1^2(1-1)P2+1^3P3=30, 0

注意，以上计算结果为二维坐标值。

已知P0[0,0]，P1[1,1]，P2[2,1]，P3[4,4]是一个三次bezier曲线特征多边形顶点，求出此bezier曲线的参数方程。

三次Bezier曲线的参数方程如下：
$$
P(t)=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3
$$

将题目中给出的点代入参数方程中，得到此Bezier曲线的参数方程为：
$$
P(t)=(1-t)^3[0,0]+3t(1-t)^2[1,1]+3t^2(1-t)[2,1]+t^3[4,4]
$$

展开后得到：
$$
P(t)=\left[\begin{array}{c}
(1-t)^3\cdot0+3t(1-t)^2\cdot1+3t^2(1-t)\cdot2+t^3\cdot4\\
(1-t)^3\cdot0+3t(1-t)^2\cdot1+3t^2(1-t)\cdot1+t^3\cdot4
\end{array}\right]
$$

化简后即为：
$$
P(t)=\left[\begin{array}{c}
6t^3-15t^2+10t\\
6t^3-9t^2+3t
\end{array}\right]
$$