6、用bezier曲线求，已知P0（2，4）P1（4，7）P2（8，4），P3（10，2）求曲线的起点，终点，以及切矢。数学书面表示

首先，我们知道贝塞尔曲线由一系列控制点定义，可以使用下列公式计算：

$$B(t) = (1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1 + 3t^2(1-t)P_2 + t^3P_3$$

其中，$P_0$、$P_1$、$P_2$、$P_3$ 是四个控制点，$t$ 是参数值，$B(t)$ 是贝塞尔曲线上的点。

根据题目给出的控制点坐标，我们可以得到如下的贝塞尔曲线方程：

$$B(t) = (1-t)^3(2,4) + 3t(1-t)^2(4,7) + 3t^2(1-t)(8,4) + t^3(10,2)$$

接下来，我们需要求解贝塞尔曲线的起点、终点以及切矢。

起点：贝塞尔曲线的起点即为 $P_0$，所以起点坐标为 $(2,4)$。

终点：贝塞尔曲线的终点即为 $P_3$，所以终点坐标为 $(10,2)$。

切矢：贝塞尔曲线的切矢是曲线在起点和终点处的切线方向。我们可以通过计算曲线在起点和终点处的导数来求解切矢。

起点处切矢：$$B'(0) = 3(1-0)^2(4-2,7-4) + 3(0)^2(8-4,4-4) + 0^3(10-2,2-4) = (6,3)$$

终点处切矢：$$B'(1) = 3(1-1)^2(4-2,7-4) + 3(1)^2(8-4,4-4) + 1^3(10-2,2-4) = (6,-2)$$

因此，起点处的切矢为 $(6,3)$，终点处的切矢为 $(6,-2)$。

相关问题

已知P0[0,0]，P1[1,1]，P2[2,1]，P3[4,4]是一个三次bezier曲线特征多边形顶点，求出此bezier曲线的参数方程。

设三次Bezier曲线的参数方程为：

B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3t*(1-t)^2 * P1 + 3t^2*(1-t) * P2 + t^3 * P3

其中，P0、P1、P2、P3 分别为特征多边形的顶点坐标，t 为曲线参数，取值范围为[0,1]。

将题目中给出的特征多边形顶点坐标代入上述参数方程，得到三次Bezier曲线的参数方程为：

B(t) = (1-t)^3 * [0,0] + 3t*(1-t)^2 * [1,1] + 3t^2*(1-t) * [2,1] + t^3 * [4,4]

化简可得：

B(t) = [(1-t)^3 * 0 + 3t*(1-t)^2 * 1 + 3t^2*(1-t) * 2 + t^3 * 4, (1-t)^3 * 0 + 3t*(1-t)^2 * 1 + 3t^2*(1-t) * 1 + t^3 * 4]

即：

B(t) = [3t^3 + 6t^2 + 3t, 3t^3 + 3t^2 + t]

因此，此三次Bezier曲线的参数方程为：

x = 3t^3 + 6t^2 + 3t

y = 3t^3 + 3t^2 + t

已知三次Bezier曲线的控制多边形的4个控制点P0(3,3),P1(9,6),P2(21,9),P3(30,0) ，利用三次Bezier曲线的定义求该三次Bezier曲线在t=0,t=1/3,t=2/3,t=1 的坐标值。

你好，我是ChitGPT，可以通过计算来求解这个问题。

根据三次Bezier曲线的定义，假设控制点分别为P0，P1，P2，P3，其对应的曲线方程为：

B(t) = (1 - t)^3P0 + 3t(1-t)^2P1 + 3t^2(1-t)P2 + t^3P3

分别代入t=0，t=1/3，t=2/3，t=1，得到四个点的坐标值：

t=0，B(0) = (1-0)^3P0 + 3*0*(1-0)^2*P1 + 3*0^2(1-0)*P2 + 0^3P3 = P0 = (3, 3)

t=1/3，B(1/3) = (1-1/3)^3P0 + 3*1/3(1-1/3)^2P1 + 3*(1/3)^2(1-1/3)P2 + (1/3)^3P3 = (25/27, 8/3)

t=2/3，B(2/3) = (1-2/3)^3P0 + 3*2/3(1-2/3)^2P1 + 3*(2/3)^2(1-2/3)P2 + (2/3)^3P3 = (457/81, 22/3)

t=1，B(1) = (1-1)^3P0 + 3*1(1-1)^2P1 + 3*1^2(1-1)P2 + 1^3P3 = P3 = (30, 0)

因此，在t=0时，三次Bezier曲线的坐标值为P0=(3,3)；在t=1/3时，坐标值为(25/27, 8/3)；在t=2/3时，坐标值为(457/81, 22/3)；在t=1时，坐标值为P3=(30,0)。

希望这个回答对你有所帮助！