matlab 如何薛定谔方程求解

在MATLAB中，可以使用数值计算工具箱中的ODE45函数来求解薛定谔方程。具体步骤如下：

1. 将薛定谔方程转换为两个一阶微分方程组。例如，对于简单的自由粒子，可以将薛定谔方程 $\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))\psi=0$ 转换为如下两个一阶微分方程：

$$
\frac{d\psi(x)}{dx}=u(x)\\
\frac{du(x)}{dx}=-\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))\psi(x)
$$

2. 在MATLAB中定义一个函数，返回该方程组的右手边。例如，对于上面的方程组，可以定义一个函数：

function dydx = SchrodingerEquation(x,y,m,hbar,E,V)
dydx = zeros(2,1);
dydx(1) = y(2);
dydx(2) = -(2*m/hbar^2)*(E-V(x))*y(1);
end

3. 使用ODE45函数来求解方程组。例如，可以定义初始条件和求解区间，并调用ODE45函数：

m = 9.11e-31; % 电子质量
hbar = 1.05e-34; % hbar常数
E = 10*1.6e-19; % 能量
V = @(x) 0; % 势能为0的情况
xspan = [0 1e-9]; % 求解区间
y0 = [0 1]; % 初始条件
[x,y] = ode45(@(x,y) SchrodingerEquation(x,y,m,hbar,E,V), xspan, y0);

4. 可以将求解结果可视化。例如，可以使用plot函数绘制波函数和势能：

plot(x, y(:,1).^2, 'b-', x, V(x)/E, 'r-');
xlabel('x (m)');
ylabel('Normalized Wave Function');
legend('Wave Function', 'Potential Energy');