f的导函数在闭区间里连续则f在闭区间上光滑

首先我们知道，函数在某一区间上光滑意味着它在该区间内是连续的，并且其导数在该区间内是连续的。因此，如果一个函数的导函数在闭区间内连续，那么我们可以得出该函数在该闭区间上是光滑的。

为什么这个结论成立呢？这可以通过微积分的知识来解释。根据微积分的基本定理，如果一个函数的导函数在某个闭区间内连续，那么这个函数在该区间内一定是可导的。同时，如果一个函数的导函数是连续的，那么这个函数一定是光滑的。

因此，结合这两点，我们可以得出结论：如果一个函数的导函数在闭区间内连续，则该函数在闭区间上是光滑的。

简而言之，导函数在闭区间内连续是函数在闭区间上光滑的充分条件。这个结论在微积分中有着重要的意义，也为我们对函数的光滑性质提供了一个很好的判定条件。

相关问题

设f(x)是[0,1]上二阶可导的正值函数，f(0)=2，f(1)=1且f(0)'＝-2，证明存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f(ξ)'+f(ξ)''=0

我们可以使用柯西中值定理来证明这个结论。

首先，根据题目条件，我们知道 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上是连续的，且在开区间 (0, 1) 上是二阶可导的。同时，我们知道 f(0) = 2，f(1) = 1，以及 f'(0) = -2。

我们定义一个辅助函数 g(x) = [f(x)]²。根据题目条件，g(x) 也是正值函数，并且在闭区间 [0, 1] 上连续可导。

现在，我们来考虑函数 h(x) = f(x)g(x)。根据乘积法则，h(x) 在开区间 (0, 1) 上是二阶可导的。

我们将 h(x) 进行求导：
h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
h''(x) = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)

我们需要找到一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 f(ξ)f(ξ)' + f(ξ)'' = 0。换句话说，我们需要找到一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 h(ξ) = 0。

根据柯西中值定理，如果一个函数在一个闭区间的两个端点处取相同的函数值，并且在该闭区间内连续可导，则在该闭区间内至少存在一个点，使得导数为零。

我们考虑函数 h(x) 在闭区间 [0, 1] 上的两个端点的取值：
h(0) = f(0)g(0) = 2g(0)
h(1) = f(1)g(1) = g(1)

我们知道 g(x) = [f(x)]²，且 f(x) 是正值函数，因此 g(x) 在闭区间 [0, 1] 上是连续的。

根据柯西中值定理，存在一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 h'(ξ) = 0。即，
h'(ξ) = f'(ξ)g(ξ) + f(ξ)g'(ξ) = f'(ξ)[f(ξ)]² + f(ξ)f'(ξ) = 2f(ξ)f'(ξ) + [f(ξ)]²f''(ξ)

因此，我们得到 2f(ξ)f'(ξ) + [f(ξ)]²f''(ξ) = 0。即，存在一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 f(ξ)f(ξ)' + f(ξ)'' = 0。

综上所述，我们证明了存在一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 f(ξ)f(ξ)' + f(ξ)'' = 0。

罗尔定理的推论对区间端点有要求吗

罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它指出：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且满足$f(a)=f(b)$，则在开区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f'(c)=0$。

罗尔定理对区间端点的要求是$f(a)=f(b)$，也就是函数在区间的两个端点上取相同的函数值。这个要求保证了函数在闭区间上满足罗尔定理的条件，从而可以确保在开区间内存在一个点$c$，使得$f'(c)=0$。

如果函数在区间的两个端点上的函数值不相等，那么罗尔定理就不成立，不能保证在开区间内存在满足$f'(c)=0$的点。因此，罗尔定理对区间端点有要求。