设f(x)是[0,1]上二阶可导的正值函数，f(0)=2，f(1)=1且f(0)'＝-2，令g(x)=x/2+∫(0,x)f'(t)/[f(t)]²dt，证明存在x0∈(0,1),使得g(x0)'=0

我们可以使用中值定理来证明存在一个点 x0 ∈ (0, 1)，使得 g(x0)' = 0。

首先，根据题目条件，我们知道 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上是连续的，且在开区间 (0, 1) 上是二阶可导的。同时，我们知道 f(0) = 2，f(1) = 1，以及 f'(0) = -2。

接下来，我们定义一个辅助函数 h(x) = x/2 + ∫(0, x) f'(t)/[f(t)]² dt。我们需要证明存在一个点 x0 ∈ (0, 1)，使得 h'(x0) = 0。

根据 h(x) 的定义，我们可以计算 h'(x)：
h'(x) = 1/2 + f'(x)/[f(x)]²

现在，我们来考虑函数 g(x) = h(x) - x/2。g(x) 是一个连续函数，且在开区间 (0, 1) 上是可导的。

首先，我们计算 g(0) 和 g(1)：
g(0) = h(0) - 0/2 = h(0) = 0/2 + ∫(0,0) f'(t)/[f(t)]² dt = 0
g(1) = h(1) - 1/2 = h(1) - 1/2 = (1/2 + ∫(0,1) f'(t)/[f(t)]² dt) - 1/2

根据积分的定义和基本性质，我们可以将 g(1) 表示为：
g(1) = (1/2 + ∫(0,1) f'(t)/[f(t)]² dt) - 1/2 = ∫(0,1) f'(t)/[f(t)]² dt

现在，我们来考虑 g(x) 在区间 (0, 1) 上的导数 g'(x)。由于 f(x) 是正值函数，且在区间 (0, 1) 上是二阶可导的，那么根据中值定理，存在一个点 x0 ∈ (0, 1)，使得：
g'(x0) = [g(1) - g(0)] / (1 - 0) = ∫(0,1) f'(t)/[f(t)]² dt - 0 = ∫(0,1) f'(t)/[f(t)]² dt

因此，我们得到 g(x0)' = ∫(0,1) f'(t)/[f(t)]² dt。由于 f(x) 是正值函数，所以 f'(x)/[f(x)]² 恒大于等于零。

综上所述，根据中值定理，存在一个点 x0 ∈ (0, 1)，使得 g(x0)' = 0。