设f(x)是[0,1]上二阶可导的正值函数,f(0)=2,f(1)=1且f(0)'=-2,证明存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f(ξ)'+f(ξ)''=0
时间: 2024-04-16 09:24:47 浏览: 14
我们可以使用柯西中值定理来证明这个结论。
首先,根据题目条件,我们知道 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上是连续的,且在开区间 (0, 1) 上是二阶可导的。同时,我们知道 f(0) = 2,f(1) = 1,以及 f'(0) = -2。
我们定义一个辅助函数 g(x) = [f(x)]²。根据题目条件,g(x) 也是正值函数,并且在闭区间 [0, 1] 上连续可导。
现在,我们来考虑函数 h(x) = f(x)g(x)。根据乘积法则,h(x) 在开区间 (0, 1) 上是二阶可导的。
我们将 h(x) 进行求导:
h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
h''(x) = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)
我们需要找到一个点 ξ ∈ (0, 1),使得 f(ξ)f(ξ)' + f(ξ)'' = 0。换句话说,我们需要找到一个点 ξ ∈ (0, 1),使得 h(ξ) = 0。
根据柯西中值定理,如果一个函数在一个闭区间的两个端点处取相同的函数值,并且在该闭区间内连续可导,则在该闭区间内至少存在一个点,使得导数为零。
我们考虑函数 h(x) 在闭区间 [0, 1] 上的两个端点的取值:
h(0) = f(0)g(0) = 2g(0)
h(1) = f(1)g(1) = g(1)
我们知道 g(x) = [f(x)]²,且 f(x) 是正值函数,因此 g(x) 在闭区间 [0, 1] 上是连续的。
根据柯西中值定理,存在一个点 ξ ∈ (0, 1),使得 h'(ξ) = 0。即,
h'(ξ) = f'(ξ)g(ξ) + f(ξ)g'(ξ) = f'(ξ)[f(ξ)]² + f(ξ)f'(ξ) = 2f(ξ)f'(ξ) + [f(ξ)]²f''(ξ)
因此,我们得到 2f(ξ)f'(ξ) + [f(ξ)]²f''(ξ) = 0。即,存在一个点 ξ ∈ (0, 1),使得 f(ξ)f(ξ)' + f(ξ)'' = 0。
综上所述,我们证明了存在一个点 ξ ∈ (0, 1),使得 f(ξ)f(ξ)' + f(ξ)'' = 0。