多元线性回归模型F检验

### 多元线性回归中的F检验

#### F检验的目的
在多元线性回归中，F检验用于评估整个模型的显著性。该测试旨在判断所有解释变量作为一个整体是否对响应变量有显著影响。如果F检验的结果表明至少有一个自变量具有统计上的重要性，则可以认为模型是有价值的[^1]。

#### 原假设与备择假设
对于F检验来说，原假设通常是所有的斜率系数都等于零（即没有任何独立变量能有效预测因变量），而备择假设则是存在至少一个不为零的斜率系数。通过比较计算得到的F统计量与其临界值来决定接受还是拒绝原假设[^2]。

#### 计算过程
F统计量可以通过下面的方式获得：

\[ F = \frac{(TSS-RSS)/p}{RSS/(n-p-1)} \]

其中，
- \( TSS \) 是总平方和；
- \( RSS \) 是残差平方和；
- \( p \) 表示自变量的数量；
- \( n \) 则代表样本大小。

当\( H_0 \)成立时，上述表达式的分子应该接近于0；反之，在\( H_a \)下它会变得较大。因此较大的F值意味着更强有力地反对\( H_0 \)，从而支持某些或全部βs不同于0的观点[^3]。

import statsmodels.api as sm
from sklearn import datasets

# 加载糖尿病数据集作为例子
data = datasets.load_diabetes()
X = data.data
y = data.target

# 添加常数项
X_with_const = sm.add_constant(X)

model = sm.OLS(y, X_with_const).fit()

print(model.fvalue)  # 输出F统计量
print(model.f_pvalue)  # 输出对应的P-value

#### 解读结果
一旦获得了F统计量及其相应的概率值(P-value),就可以基于预设的显著水平α(通常取0.05)来进行决策。如果P-value小于α，则拒绝原假设并得出结论说至少有一部分自变量确实有助于提高模型的表现力。否则就无法找到足够的证据否定原假设，这可能暗示着当前使用的特征集合并不足以很好地描述目标变量的变化趋势。