使用MATLAB编程利用Romberg加速算法计算积分S=x/（4+x……2）对x从0到1积分

在MATLAB中，你可以使用Romberg积分算法（也称为辛普森法则的一种高级形式）来计算复杂的函数积分。这个算法是一种数值积分技术，它通过构建一个逐次改进的矩形和梯形近似序列来提高精度。对于给定的问题，比如S = x / (4 + x^2)，我们可以编写如下的MATLAB代码：

function integral = romberg(f, a, b, n)
% f: 要积分的函数 handle
% a, b: 积分区间
% n: Romberg规则阶数

if nargin < 4
    error('需要提供Romberg规则的阶数n');
end

% 初始化基本积分值和误差
R = [0]; % 存储每个阶段的结果
E = zeros(1, n); % 存储误差

for j = 1:n
    h = (b - a) / (2^(j+1)); % 矩形宽度
    
    % 初始化第一阶
    if j == 1
        T = (f(a) + f(b)) * h / 2;
    else
        % Romberg公式
        T = R(j-1) + (h/2)^2 * (f(a+h) + 4*f((a+b)/2) + f(b-h));
        
        % 计算误差并更新结果
        E(j) = sqrt(abs(T - R(j-1)));
    end
    
    % 更新总积分为累积和
    R(j+1) = R(j) + T;
    
    % 显示当前阶数和估计的误差
    fprintf('Romberg step %d: Integral ≈ %.8f, Error ≈ %.6e\n', j, R(j), E(j));
end

integral = R(n);