证明欧拉公式单步法稳定性

欧拉公式单步法是一种常用的数值解微分方程的方法，其稳定性主要与步长有关。稳定性指的是当步长趋近于0时，数值解是否能够收敛到微分方程的真实解。

欧拉公式单步法的迭代公式为：

$$
y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n)
$$

其中，$y_n$ 是数值解，$f(x_n,y_n)$ 是微分方程在点 $(x_n,y_n)$ 的斜率，$h$ 是步长。

为了证明欧拉公式单步法的稳定性，需要分析其截断误差和稳定函数。截断误差是指数值解和真实解之间的误差，稳定函数是指截断误差随步长变化的函数。

对于欧拉公式单步法，其截断误差为：

$$
\tau_{n+1} = \frac{1}{2}h^2y''(\xi_n)
$$

其中，$y''(\xi_n)$ 是微分方程在点 $(\xi_n,y(\xi_n))$ 的二阶导数。

稳定函数为：

$$
R(z) = \frac{1+z}{1-z}
$$

其中，$z$ 是复数，其实部和虚部分别为：

$$
Re(z) = -\lambda h, \quad Im(z) = \sqrt{1-\lambda^2h^2}
$$

其中，$\lambda$ 是微分方程的最大特征值。

根据稳定函数的定义，当 $|R(z)|<1$ 时，数值解能够收敛到真实解。因此，需要证明 $|R(z)|<1$。

将 $R(z)$ 的实部和虚部带入 $|R(z)|$ 的公式中，得到：

$$
|R(z)| = \frac{\sqrt{(1+\lambda h)^2 + (1-\lambda^2h^2)}}{\sqrt{(1-\lambda h)^2 + (1-\lambda^2h^2)}} < 1
$$

对上式进行简化，得到：

$$
\begin{aligned}
&(1+\lambda h)^2 + (1-\lambda^2h^2) < (1-\lambda h)^2 + (1-\lambda^2h^2) \\
\Rightarrow & 4\lambda h < 2 \\
\Rightarrow & h < \frac{1}{2\lambda}
\end{aligned}
$$

因此，当步长满足 $h<\frac{1}{2\lambda}$ 时，欧拉公式单步法是稳定的。

综上所述，欧拉公式单步法的稳定性与步长有关，当步长满足 $h<\frac{1}{2\lambda}$ 时，数值解能够收敛到真实解。