Lossless-join Decomposition • For the case of 𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2, a decomposition of R into R1 and R2 is lossless join if and only if at least one of the following dependencies is in F+: 𝑅1 ∩ 𝑅2 → 𝑅1 𝑅1 ∩ 𝑅2 → 𝑅2. Let the schema R is decomposed into R1, R2, …, Rn. • Let Fi be the subset of dependencies F+ that only includes attributes in Ri for 1 ≤ 𝑖 ≤ n. • The decomposition is dependency preserving, if(𝐹1 ∪ 𝐹2 ∪ … ∪ 𝐹𝑛 ) + = 𝐹 +. If the decomposition is not dependency preserving, then checking updates for violation of functional dependencies may require computing joins, which is expensive. 用中文详细讲解以上内容及相关知识点

在数据库中，关系模型是基于关系的概念，其中关系是指一个二维表格，其中每一列都有一个属性，每一行都有一个数据记录。在关系模型中，数据被组织成一组关系，并且这些关系之间存在一些函数依赖关系，这些函数依赖关系可以用来描述数据之间的关系和约束条件。

关系分解是将一个大的关系模式分解成几个小的关系模式的过程。在分解之前，必须考虑到分解后的关系是否能够保持原有的函数依赖关系，同时还要确保数据能够完整地重构回原有的大关系。

在关系分解中，Lossless-join 分解是一种保证分解后能够重构回原有大关系的方法。如果一个关系模式 R 被分解成 R1 和 R2，那么 Lossless-join 分解就是指只要 R1 和 R2 之间存在某些公共属性，那么就可以通过连接 R1 和 R2 重构出原来的 R 模式。Lossless-join 分解的条件是，至少存在以下两个依赖关系之一：R1 ∩ R2 → R1 或 R1 ∩ R2 → R2。

在分解过程中，我们可以将依赖关系集合 F+ 分成 n 个子集 Fi，其中每个子集 Fi 只包含关系模式 Ri 中的属性。如果分解后仍能保持原有的函数依赖关系，则称该分解是 dependency-preserving 的。

如果分解不是 dependency-preserving 的，则需要额外的计算来检查数据更新是否会违反函数依赖关系，这需要进行 join 操作，而 join 操作是比较耗时和昂贵的。

因此，在进行关系分解时，需要考虑到分解后的关系能否保持原有的函数依赖关系，并且需要尽可能地减少计算的复杂性和代价。