交叉熵损失的反向求导

交叉熵损失函数是常用于分类问题的损失函数之一。对于二分类问题，假设模型输出为 y，真实标签为 t，则交叉熵损失可以表示为：L = -t * log(y) - (1 - t) * log(1 - y)。

要求交叉熵损失的反向导数，我们需要先对 y 进行求导。根据链式法则，有：

∂L/∂y = -t/y + (1 - t)/(1 - y)

然后我们可以继续对 y 进行求导。由于 y 是模型的输出，通常使用激活函数进行转换，比如 sigmoid 函数。假设 a 是 sigmoid 函数的输出，则有 y = sigmoid(a)。

根据 sigmoid 函数的导数性质，有：

∂y/∂a = y * (1 - y)

接下来，我们可以继续求解 ∂L/∂a：

∂L/∂a = (∂L/∂y) * (∂y/∂a) = (-t/y + (1 - t)/(1 - y)) * (y * (1 - y)) = y - t

所以，交叉熵损失函数对模型输出 a 的导数为 y - t。

相关问题

sotmax 交叉熵损失函数求导

在深度学习中，交叉熵损失函数常用于多分类问题中衡量模型输出与真实标签之间的差异。对于使用softmax作为激活函数的输出层，我们可以使用交叉熵损失函数进行优化。

设模型的输出为$y=(y_1,y_2,\dots,y_n)$，其中$y_i$表示模型对第$i$类的预测概率。设真实标签为$z=(z_1,z_2,\dots,z_n)$，其中$z_i$表示第$i$类的真实标签（通常取值为0或1）。

交叉熵损失函数定义如下：
$$L(y,z)=-\sum_{i=1}^n z_i \log(y_i)$$

接下来，我们来求解交叉熵对每个预测值的导数。

计算$L$对$y_k$的偏导数：
$$\frac{\partial L}{\partial y_k} = -\frac{\partial}{\partial y_k} \sum_{i=1}^n z_i \log(y_i)$$

由于交叉熵对于除$y_k$以外的其他预测值$y_i$的偏导数为0（可以通过计算验证），因此只需计算$L$对$y_k$的偏导数。

我们可以使用链式法则来进行求导：
$$\frac{\partial L}{\partial y_k} = -\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial y_k} (z_i \log(y_i))$$

当$i\neq k$时，$\frac{\partial}{\partial y_k}(z_i \log(y_i))=0$，因此上式可以简化为：
$$\frac{\partial L}{\partial y_k} = -\frac{\partial}{\partial y_k} (z_k \log(y_k)) = -\frac{z_k}{y_k}$$

综上所述，我们得到交叉熵损失函数对于softmax模型输出的偏导数为：
$$\frac{\partial L}{\partial y_k} = \begin{cases}
y_k-z_k, & \text{if $k=j$}\\
y_k, & \text{if $k\neq j$}
\end{cases}$$

其中$j$表示真实标签为1的类别。这样，我们就可以利用该导数来进行反向传播，更新模型参数，从而优化模型。

交叉熵损失函数求导的代码实现

交叉熵损失函数的求导可以通过代码实现。假设我们的模型输出为y_pred，真实值为y_true，使用交叉熵损失函数计算误差。对于二分类问题，交叉熵损失函数的公式如下：

loss = -(y_true * log(y_pred) + (1 - y_true) * log(1 - y_pred))

其中log为自然对数函数。接下来，我们可以使用自动微分工具来计算损失函数对模型输出的导数，以便后续的反向传播更新参数。在Python中，可以使用TensorFlow或PyTorch等深度学习框架来实现交叉熵损失函数的求导。以下是使用TensorFlow的代码示例：

import tensorflow as tf

# 假设y_pred和y_true是TensorFlow的张量
loss = tf.reduce_mean(
    tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(labels=y_true, logits=y_pred)
)

# 计算损失对y_pred的导数
grads = tf.gradients(loss, y_pred)

上述代码中，tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits函数可以同时计算交叉熵损失和sigmoid函数的导数。tf.gradients函数用于计算损失对y_pred的导数。这样，我们就得到了交叉熵损失函数对模型输出的导数，可以进一步用于反向传播更新参数。