编写一个计算机程序，用于判断输入字符串是否为命题公式。输入含有命题变量、逻辑运算符、左右括号字符串，输出若为命题公式返回其抽象语法树，否则返回空树

编写这样一个程序通常需要结合词法分析（Lexer）和语法分析（Parser）。我们可以使用递归下降解析或自底向上的方法，如LR或LL解析器。这里是一个简化的例子，假设我们只考虑最基础的二元运算符（AND, OR）和括号，并且忽略优先级规则，先使用词法分析分割字符串：

#include <iostream>
#include <stack>
#include <string>

// 定义一个简单的语法节点
struct Node {
    char op; // 运算符
    Node* left = nullptr;
    Node* right = nullptr;
};

Node* parseFormula(std::string formula) {
    if (formula.empty()) {
        return nullptr;
    }

    std::stack<Node*> nodes;

    for (char c : formula) {
        switch (c) {
            case '(':
                nodes.push(new Node());
                break;
            case ')':
                if (nodes.empty() || nodes.top()->op != '(') {
                    throw std::runtime_error("Invalid parentheses");
                }
                Node* top = nodes.top();
                nodes.pop();
                top->right = nodes.top();
                nodes.pop();
                break;
            default:
                if (isalpha(c)) { // 命题变量
                    Node* node = new Node();
                    node->left = new Node();
                    node->left->op = c;
                    nodes.push(node);
                } else if (c == 'A' || c == 'O') { // 逻辑运算符
                    if (nodes.empty()) {
                        throw std::runtime_error("Operator without operands");
                    }
                    Node* node = new Node();
                    node->op = c;
                    node->left = nodes.top();
                    nodes.pop();
                    nodes.push(node);
                    while (!nodes.empty() && nodes.top()->op == c) { // 消耗连续的相同运算符
                        node->right = nodes.top();
                        nodes.pop();
                    }
                }
        }
    }

    if (!nodes.empty()) {
        throw std::runtime_error("Unmatched closing parenthesis");
    }

    return nodes.top();
}

int main() {
    try {
        std::string input = "A(a) O(b)";
        Node* tree = parseFormula(input);
        if (tree) {
            // 输出抽象语法树的信息（这里仅做示例，实际应用中可能需要遍历并打印）
            std::cout << "Abstract Syntax Tree:\n";
            printTree(tree);
        } else {
            std::cout << "Not a valid proposition formula.\n";
        }
    } catch (const std::exception& e) {
        std::cerr << "Error: " << e.what() << "\n";
    }

    return 0;
}

void printTree(Node* node) {
    if (node) {
        std::cout << node->op;
        if (node->left) {
            printTree(node->left);
        }
        if (node->right) {
            std::cout << "(";
            printTree(node->right);
            std::cout << ")";
        }
        std::cout << '\n';
    }
}

注意这只是一个非常基础的版本，实际的实现会更复杂，包括处理优先级和更多的运算符，以及处理无效的输入。