两个函数相乘的拉普拉斯变换

如果两个函数是 $f(t)$ 和 $g(t)$，它们的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$ 和 $G(s)$，则两个函数相乘的拉普拉斯变换为：

$${\mathcal {L}}\{f(t)g(t)\} = \int_0^\infty f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau = F(s)G(s)$$

其中，$s$ 是复数变量。

相关问题

什么函数的拉普拉斯变换为s

拉普拉斯变换是一种将一个时间域上的函数$f(t)$ 转换成一个复平面上的函数$F(s)$ 的工具。其中，$s$ 是复变量。如果一个函数$f(t)$ 的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么我们通常会将它写作$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$。

如果一个函数的拉普拉斯变换为$F(s) = \frac{1}{s}$，那么这个函数就是一个阶跃函数（也称为单位阶跃函数）$u(t)$。阶跃函数在 $t=0$ 时从 $0$ 突然跳到了 $1$。所以，我们可以说阶跃函数的拉普拉斯变换为$\frac{1}{s}$。

多元函数的拉普拉斯变换

多元函数的拉普拉斯变换是一种用于处理多元函数的数学工具。它可以将一个多元函数从时域(domain)转换到频域(domain)，类似于单变量函数的拉普拉斯变换。

在二维情况下，假设有一个二元函数 f(x, y)，其拉普拉斯变换定义为：

F(s1, s2) = L[f(x, y)] = ∫∫ f(x, y) * e^(-s1x - s2y) dx dy

其中，s1 和 s2 是频域中的变量，表示频率的变化。

对于三维函数 f(x, y, z)，其拉普拉斯变换定义为：

F(s1, s2, s3) = L[f(x, y, z)] = ∫∫∫ f(x, y, z) * e^(-s1x - s2y - s3z) dx dy dz

通过拉普拉斯变换，我们可以将多元函数在时域中的运算转换为频域中的运算，从而简化问题的求解过程。