差分进化算法（C＋＋实现）

差分进化算法（Differential Evolution，DE）是一种常用的全局优化算法，具有收敛速度快、易于实现、不需要梯度信息等优点。本文将介绍差分进化算法的原理以及C++实现。

1. 差分进化算法原理

差分进化算法是一种基于群体智能的优化算法，其基本思想是通过个体之间的交叉和变异来生成新的个体，并通过适应度函数的评价来选择优良个体，不断迭代，直到满足终止条件为止。其基本流程如下：

1.1 初始化

设群体大小为N，每个个体有n个维度，用x(i,j)表示第i个个体在第j个维度上的取值，初始化群体，使得每个个体的每个维度都在其取值范围内随机生成一个初始值。

1.2 交叉和变异

随机选取三个不同的个体（a,b,c），通过以下公式产生一个新的个体x(i,new)：

x(i,new) = x(a,j) + F * (x(b,j) - x(c,j))

其中F为缩放因子，通常取值在[0,2]之间，j为随机选取的维度。这个公式的含义是在a,b,c三个个体之间进行差分运算，得到一个差分向量，再将其加到a个体上得到新的个体。

1.3 选择

将原来的个体x(i)和新的个体x(i,new)进行比较，选择适应度更好的个体作为下一代的个体。

1.4 终止条件

当达到指定的迭代次数或者适应度函数达到指定的阈值时，停止算法。

2. C++实现

下面是差分进化算法的C++实现代码，其中包括初始化、交叉和变异、选择和终止条件判断等部分。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

using namespace std;

const int N = 100; // 群体大小
const int n = 10; // 个体维度
const int max_iter = 1000; // 最大迭代次数
const double F = 0.5; // 缩放因子
const double CR = 0.9; // 交叉概率
const double eps = 1e-6; // 终止条件
const double lb = -5.12; // 取值下界
const double ub = 5.12; // 取值上界

double x[N][n], f[N]; // 个体和适应度
double best_x[n], best_f; // 全局最优解

// 初始化
void init() {
    srand(time(NULL));
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            x[i][j] = lb + (ub - lb) * rand() / RAND_MAX;
        }
        f[i] = 0;
    }
    best_f = 1e9;
}

// 适应度函数
double fun(double *x) {
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum += x[i] * x[i];
    }
    return sum;
}

// 交叉和变异
void crossover(double *a, double *b, double *c, double *d) {
    int j = rand() % n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i == j || rand() / double(RAND_MAX) < CR) {
            d[i] = a[i] + F * (b[i] - c[i]);
            if (d[i] < lb || d[i] > ub) {
                d[i] = lb + (ub - lb) * rand() / RAND_MAX;
            }
        } else {
            d[i] = a[i];
        }
    }
}

// 选择
void select() {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        double new_f = fun(x[i]);
        if (new_f < f[i]) {
            f[i] = new_f;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                x[i][j] = best_x[j];
            }
        }
        if (new_f < best_f) {
            best_f = new_f;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                best_x[j] = x[i][j];
            }
        }
    }
}

// 终止条件判断
bool stop() {
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        sum += (fun(x[i]) - best_f) * (fun(x[i]) - best_f);
    }
    return sqrt(sum / N) < eps;
}

// 差分进化算法
void DE() {
    init();
    for (int iter = 0; iter < max_iter; iter++) {
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            int a, b, c;
            do {
                a = rand() % N;
            } while (a == i);
            do {
                b = rand() % N;
            } while (b == a || b == i);
            do {
                c = rand() % N;
            } while (c == a || c == b || c == i);
            double d[n];
            crossover(x[a], x[b], x[c], d);
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                x[i][j] = d[j];
            }
        }
        select();
        if (stop()) {
            break;
        }
    }
}

int main() {
    DE();
    cout << "best_f: " << best_f << endl;
    cout << "best_x: ";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << best_x[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

在上述代码中，我们定义了一个N个个体、每个个体有n个维度的群体，用x(i,j)表示第i个个体在第j个维度上的取值。在初始化时，将每个个体在每个维度上随机生成一个初始值，并将其适应度初始化为0。在交叉和变异时，我们随机选取三个不同的个体（a,b,c），通过差分运算得到一个差分向量，再将其加到a个体上得到新的个体。在选择时，将原来的个体x(i)和新的个体x(i,new)进行比较，选择适应度更好的个体作为下一代的个体。在终止条件判断时，我们计算所有个体适应度和全局最优解的适应度之差的平方的平均值，如果小于指定的阈值，则停止算法。

3. 总结

本文介绍了差分进化算法的原理以及C++实现，差分进化算法是一种全局优化算法，具有收敛速度快、易于实现、不需要梯度信息等优点，在实际问题中得到了广泛的应用。