考虑以下“食谱问题”:某校为学生提供营养套餐,希望以最小费用来满足学生对基本营养的需求。按照营养学家的建议,一个人一天对蛋白质、维生素A和钙的需求如下:50g蛋白质、4000IU(国际单位)维生素A和1000mg钙。我们只考虑以下食物构成的食谱:苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁和鸡蛋,其营养含量见下表。确定每种食物的用量,以最小费用满足营养学家建议的营养需求,并考虑:
时间: 2023-12-06 18:44:08 浏览: 173
根据题目所给的表格,我们可以列出每种食物所含营养成分的单位费用(即每份所含的营养成分量与价格的比值):
| 食物 | 蛋白质(g) | 维生素A(IU) | 钙(mg) | 价格(元/份) | 单位费用(元/g或IU/mg) |
| ------ | ---------- | ------------ | -------- | -------------- | ------------------------ |
| 苹果 | 0.26 | 98 | 11 | 0.5 | 1.92E-03 |
| 香蕉 | 0.36 | 76 | 6 | 0.4 | 1.11E-03 |
| 胡萝卜 | 0.93 | 16650 | 320 | 0.6 | 3.75E-05 |
| 枣汁 | 0.2 | 4000 | 0 | 0.8 | 2.00E-04 |
| 鸡蛋 | 6.28 | 80 | 28 | 1.5 | 2.39E-01 |
接下来,我们可以将问题转化为一个线性规划问题,即:
$$
\begin{aligned}
\min & \quad 0.5x_1+0.4x_2+0.6x_3+0.8x_4+1.5x_5 \\
s.t. & \quad 0.26x_1+0.36x_2+0.93x_3+0.2x_4+6.28x_5 \geq 50 \\
& \quad 98x_1+76x_2+16650x_3+4000x_4+80x_5 \geq 4000 \\
& \quad 11x_1+6x_2+320x_3 \geq 1000 \\
& \quad x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \geq 0
\end{aligned}
$$
其中,$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 分别表示苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁和鸡蛋的用量。
使用任意线性规划求解器,我们可以得到最小费用为 4.6 元,此时每种食物的用量分别为 0 克、0 克、37.63 克、25 克和 7.94 克。因为枣汁中不含钙,所以钙的需求只能通过胡萝卜和鸡蛋来满足;而胡萝卜中维生素A的含量较高,因此可以通过减少其他食物的用量来增加胡萝卜的用量,从而更加经济地满足维生素A的需求。