递归实现折半查找的算法描述

可以使用以下步骤来递归实现折半查找：

1. 定义一个函数来递归地执行折半查找。该函数应该接受一个有序数组、要查找的元素、以及数组的起始和结束索引作为参数。

2. 在每次递归中，确定当前数组的中间元素，并将其与要查找的元素进行比较。

3. 如果中间元素等于要查找的元素，则返回该元素的索引。

4. 如果中间元素大于要查找的元素，则在数组的左半边递归地执行折半查找。

5. 如果中间元素小于要查找的元素，则在数组的右半边递归地执行折半查找。

6. 如果要查找的元素不存在于数组中，则返回-1。

以下是递归实现折半查找的代码示例：

def binary_search_recursive(arr, target, start, end):
    if start > end:
        return -1
    
    mid = (start + end) // 2
    
    if arr[mid] == target:
        return mid
    elif arr[mid] > target:
        return binary_search_recursive(arr, target, start, mid-1)
    else:
        return binary_search_recursive(arr, target, mid+1, end)

例如，若要在有序数组 `[1, 3, 5, 7, 9, 11]` 中查找元素 `5`，则可以调用以下函数：

result = binary_search_recursive([1, 3, 5, 7, 9, 11], 5, 0, 5)
print(result)  # 输出：2

该函数将返回元素 `5` 在数组中的索引（从0开始）。