c++最小二乘法拟合2D圆

最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以用于拟合2D圆。

假设我们有一组二维的数据点 {(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，我们想要用一个圆来拟合这些数据点。圆的一般方程可以表示为：

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径。我们需要求出这三个参数的值。

首先，我们将圆的一般方程展开：

x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2

将其转换为以下形式：

x^2 + y^2 + (-2a)x + (-2b)y + (a^2 + b^2 - r^2) = 0

我们可以将上述式子看作一个关于x和y的二次方程，根据最小二乘法，我们需要找到一个最小化误差平方和的解：

E(a,b,r) = Σ(xi^2 + yi^2 + (-2a)xi + (-2b)yi + (a^2 + b^2 - r^2))^2

对E(a,b,r)分别求偏导，并令其等于0，得到三个方程：

Σ(xi^2) a + Σ(xi) b + n(-r^2) = Σ(xi^3) + Σ(xi*yi^2)
Σ(xi) a + Σ(yi^2) b + n(-r^2) = Σ(xi^2*yi) + Σ(yi^3)
Σ(xi^2 + yi^2) a + Σ(xi) b + n(-r^2) = Σ(xi^2*yi + yi^3) + Σ(xi*yi^2)

其中，n为数据点数目。

将上述三个方程表示成矩阵形式：

| Σ(xi^2) Σ(xi) n | |a| |Σ(xi^3) + Σ(xi*yi^2)|
| Σ(xi) Σ(yi^2) n | x |b| = |Σ(xi^2*yi) + Σ(yi^3)|
| Σ(xi^2 + yi^2) Σ(xi) n | |r| |Σ(xi^2*yi) + Σ(yi^3)|

然后，解出a、b、r的值，就可以得到拟合的圆心坐标和半径了。

以下是用C++实现的代码示例：