假定a和b是奇数且a≠b。 证明存在唯一的整数c满足|a-c|=|b-c|。
时间: 2024-01-05 18:05:47 浏览: 43
假设存在两个整数c和d,满足|a-c|=|b-c|和|a-d|=|b-d|。我们需要证明c=d。
首先,根据假设a和b是奇数,我们可以得出a-c和b-c的奇偶性相同,a-d和b-d的奇偶性也相同。因此,可以得出以下两种情况:
1. a-c和b-c都是奇数,a-d和b-d都是奇数。
那么,a-c和b-c的差值为偶数,而a-d和b-d的差值也为偶数。这意味着c和d的奇偶性相同。因此,我们可以假设c和d都是奇数。
现在,我们有以下两个方程:
a-c = b-c 或 a-c = -(b-c)
a-d = b-d 或 a-d = -(b-d)
将这些方程重排得到:
c = (a+b)/2 或 c = (a-b)/2
d = (a+b)/2 或 d = (b-a)/2
由于a、b、c和d都是奇数,所以(c+d)和(a+b)都是偶数。但是,我们已经得出c和d可能有不同的值,这意味着(c+d)/2可能是一个奇数,这与我们得出的结论相矛盾。因此,第一种情况不成立。
2. a-c和b-c都是偶数,a-d和b-d都是偶数。
那么,a-c和b-c的差值为偶数,而a-d和b-d的差值也为偶数。这意味着c和d的奇偶性相同。因此,我们可以假设c和d都是偶数。
现在,我们有以下两个方程:
a-c = b-c 或 a-c = -(b-c)
a-d = b-d 或 a-d = -(b-d)
将这些方程重排得到:
c = (a+b)/2 或 c = (a-b)/2
d = (a+b)/2 或 d = (b-a)/2
由于a、b、c和d都是偶数,所以(c+d)和(a+b)都是偶数。这意味着(c+d)/2和(a+b)/2都是整数。因此,我们可以将c和d分别表示为:
c = (a+b)/2+k
d = (a+b)/2+l
其中k和l都是整数。将这些方程代入|a-c|=|b-c|和|a-d|=|b-d|中,得到:
|a-(a+b)/2-k| = |b-(a+b)/2-k|
|a-(a+b)/2-l| = |b-(a+b)/2-l|
化简得到:
|b-a-2k| = |b-a-2l|
因为a和b是奇数,所以b-a是偶数。因此,2k和2l都是偶数。假设2k=2l,那么k和l相等,因此c=d。假设2k≠2l,那么|b-a-2k|=|b-a-2l|=2|k-l|。但是,因为2k和2l都是偶数,所以|k-l|是整数。因此,我们得出结论:c=d。
综上所述,当a和b是奇数且a≠b时,存在唯一的整数c满足|a-c|=|b-c|。