用MATLAB中的留数求解RLC串联振荡电路的冲激响应与阶跃响应

假设RLC电路如下图所示：


根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律，可以得到如下微分方程：

$$L\frac{d^2}{dt^2}i(t)+R\frac{d}{dt}i(t)+\frac{1}{C}i(t)=v(t)$$

其中 $i(t)$ 表示电路中电流的变化， $v(t)$ 表示电路中电压的变化。如果将上述微分方程应用拉普拉斯变换，可以得到：

$$Ls^2I(s)+RsI(s)+\frac{1}{C}I(s)=V(s)$$

其中 $I(s)$ 表示电路中电流的拉普拉斯变换， $V(s)$ 表示电路中电压的拉普拉斯变换。解出 $I(s)$ 可以得到电路的传递函数：

$$H(s)=\frac{I(s)}{V(s)}=\frac{1}{LCs^2+RCs+1}$$

根据留数定理，可以得到 $h(t)$ 的表达式：

$$h(t)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C} H(s) e^{st} ds$$

其中 $C$ 表示积分路径， $j$ 表示虚数单位。在实际计算中，可以选择将积分路径选为右半平面的虚轴，即 $s=\sigma+j\omega$，其中 $\sigma>0$。这样，积分路径可以表示为 $s=\sigma+j\omega_0 e^{j\theta}$，其中 $\omega_0$ 表示电路的共振频率， $\theta$ 表示相角。

对于冲激响应，可以令 $v(t)=\delta(t)$，得到拉普拉斯变换为 $V(s)=1$。代入传递函数中，可以得到：

$$H(s)=\frac{1}{LCs^2+RCs+1}$$

根据留数定理，可以得到冲激响应的表达式：

$$h(t)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C} H(s) e^{st} ds = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega_0^2}{\sigma^2}}}e^{-\sigma t}\sin(\omega_0 t+\theta)u(t)$$

其中 $u(t)$ 表示单位阶跃函数。

对于阶跃响应，可以令 $v(t)=u(t)$，得到拉普拉斯变换为 $V(s)=\frac{1}{s}$。代入传递函数中，可以得到：

$$H(s)=\frac{1}{s(LCs^2+RCs+1)}$$

根据留数定理，可以得到阶跃响应的表达式：

$$h(t)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C} H(s) e^{st} ds = \frac{1}{L}\left(1-e^{-\frac{R}{2L}t}\cos(\omega_d t)-\frac{R}{2L}\sin(\omega_d t)\right)u(t)$$

其中 $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\frac{R^2}{4L^2}}$ 表示电路的阻尼角频率。