把余弦函数y=cos(x)在定义域[-pi,pi]进行泰勒级数展开,观察不同结果,归纳假设余弦函数幂级数最终形式,然后对假设泰勒级数求和,验证猜想是否正确
时间: 2023-12-06 21:45:47 浏览: 212
余弦函数在定义域[-π,π]上的泰勒级数展开式为:
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
根据泰勒级数的定义,我们可以发现余弦函数的幂级数最终形式为:
∑(-1)^n * x^(2n) / (2n)!
其中,n取遍所有非负整数。
为了验证这个猜想,我们可以将幂级数进行求和:
cos(x) = ∑(-1)^n * x^(2n) / (2n)!
= 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
当n=0时,x^(2n)/(2n)! = 1,所以余弦函数的幂级数首项为1,与其泰勒级数展开式中的首项1相同。
当n=1时,x^(2n)/(2n)! = -x^2/2!,所以余弦函数的幂级数次项为-x^2/2!,与其泰勒级数展开式中的次项-x^2/2!相同。
当n=2时,x^(2n)/(2n)! = x^4/4!,所以余弦函数的幂级数三次项为x^4/4!,与其泰勒级数展开式中的三次项x^4/4!相同。
以此类推,我们可以发现余弦函数的幂级数与其泰勒级数展开式是相同的,因此我们的猜想是正确的。
最后,可以使用Python代码验证余弦函数的泰勒级数展开式:
```
import math
def cos_taylor(x):
result = 0
for n in range(0, 10):
sign = (-1) ** n
term = x ** (2 * n) / math.factorial(2 * n)
result += sign * term
return result
print(cos_taylor(math.pi/4)) # 输出0.7071067811865476,即cos(pi/4)的近似值
print(math.cos(math.pi/4)) # 输出0.7071067811865476,即cos(pi/4)的精确值
```
可以看到,余弦函数的泰勒级数展开式在计算cos(pi/4)时得到的近似值与其精确值非常接近,验证了我们的猜想的正确性。
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