用matlab实现2.写出三维空间中一些简单的平移、旋转、伸缩、投影、对称等变换矩阵,任意选取空同一张自或者一条曲线,观察施行这几种变换前后的图形变化.
时间: 2024-05-20 12:15:18 浏览: 13
三维空间中的平移、旋转、伸缩、投影、对称等变换矩阵如下:
1. 平移变换矩阵:
$$
T = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & a_x \\
0 & 1 & 0 & a_y \\
0 & 0 & 1 & a_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
其中,$a_x, a_y, a_z$ 分别为沿着 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴平移的距离。
2. 旋转变换矩阵:
- 绕 $x$ 轴旋转角度 $\theta$:
$$
R_x = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
- 绕 $y$ 轴旋转角度 $\theta$:
$$
R_y = \begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
- 绕 $z$ 轴旋转角度 $\theta$:
$$
R_z = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
3. 伸缩变换矩阵:
- 沿 $x$ 轴伸缩 $s_x$:
$$
S_x = \begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
- 沿 $y$ 轴伸缩 $s_y$:
$$
S_y = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
- 沿 $z$ 轴伸缩 $s_z$:
$$
S_z = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & s_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
4. 投影变换矩阵:
- 沿 $x$ 轴投影:
$$
P_x = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
- 沿 $y$ 轴投影:
$$
P_y = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
- 沿 $z$ 轴投影:
$$
P_z = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
5. 对称变换矩阵:
- 关于 $x$ 轴对称:
$$
M_x = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
- 关于 $y$ 轴对称:
$$
M_y = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
- 关于 $z$ 轴对称:
$$
M_z = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
选取一条直线,施行以上变换,可以观察到图形的变化。例如,选取一条直线 $l$,其方程为:
$$
l:
\begin{cases}
x = t \\
y = t \\
z = t
\end{cases}
$$
其中,$t$ 为参数。
施行平移变换 $T$ 后,直线 $l$ 变为:
$$
l':
\begin{cases}
x = t + a_x \\
y = t + a_y \\
z = t + a_z
\end{cases}
$$
施行旋转变换 $R_x$ 后,直线 $l$ 变为:
$$
l':
\begin{cases}
x = t \\
y = t\cos\theta - t\sin\theta \\
z = t\sin\theta + t\cos\theta
\end{cases}
$$
施行伸缩变换 $S_x$ 后,直线 $l$ 变为:
$$
l':
\begin{cases}
x = s_xt \\
y = t \\
z = t
\end{cases}
$$
施行投影变换 $P_x$ 后,直线 $l$ 变为:
$$
l':
\begin{cases}
y = t \\
z = t
\end{cases}
$$
施行对称变换 $M_x$ 后,直线 $l$ 变为:
$$
l':
\begin{cases}
x = t \\
y = -t \\
z = -t
\end{cases}
$$
通过以上变换可以观察到直线的不同形态,同时也可以通过选择不同的图形来进行变换。
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