无感FOC 用到的数学知识

### 无感FOC使用的数学原理

#### 坐标变换基础
为了实现对永磁同步电机(PMSM)的有效控制，坐标变换起着至关重要的作用。特别是Clarke和Park变换被广泛应用于将三相静止坐标系下的电流信号转换至两相同步旋转坐标系下表示[^1]。

- **Clark 变换**: 将三相交流电系统(A, B, C)映射成两个正交分量αβ所在的固定直角坐标系内。
\[ \begin{bmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{bmatrix}= \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}i_A\\i_B\\i_C\end{bmatrix} \]

- **Park 变换**: 进一步把αβ平面上的数据投影到随转子磁场方向变化而转动的新平面d-q上。
\[ \begin{bmatrix} i_d \\ i_q \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos(\theta)&sin(\theta)\\-sin(\theta)&cos(\theta)\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}, \quad where \; \theta=\int_{}^{}\omega_r dt+\theta_o \]

这些变换允许控制系统直接操作于代表电磁力矩大小(iq轴向)及励磁强度(id轴向)的变量之上，简化了后续处理过程并提高了响应速度与稳定性。

#### 滑模观测器(SMO)

对于不依赖传感器反馈的位置检测方法而言，滑模观测器提供了一种有效的解决方案。该技术利用非线性切换函数构建误差动态方程，在理想情况下能够迫使状态轨迹沿预定路径收敛直至达到平衡点附近形成所谓的“滑动模式”。此时即使存在外界扰动也能保持良好的鲁棒性能[^2]。

具体来说，针对PMSM设计的SMO会涉及到如下几个方面：

- 寻找恰当的形式表达式s=Ax+Bu作为切换面S(t)=0的标准定义；
- 设计控制器u=-k sign(s)+f(x,t)，其中k>0为增益系数,f()则取决于特定应用场景的需求；

以上步骤共同构成了完整的SMO框架，并且可以通过适当调节参数获得满意的跟踪效果。

#### 自适应算法(MRAS)

当面对未知或难以精确测量的工作条件时，基于模型参考自适应(Model Reference Adaptive System, MRAS)的方法显得尤为有用。这种方法的核心在于创建一个理想的参照对象——即目标行为模板m*(t)—并通过在线学习机制逐步修正当前预测模型p(t)直到两者之间差异最小化为止[^3]。

在这个过程中，关键环节包括但不限于:

- 对象建模: 根据已知物理规律建立起关于待控设备特性的描述;
- 参数辨识: 利用实时采集的数据流更新内部权重w_i以逼近最优解集W*;
- 性能评估: 定期检验现有设定是否满足预期指标要求;

综上所述，无论是哪种类型的无传感FOC方案都离不开扎实深厚的数理背景支撑，从基本的矩阵运算到复杂的微积分求解都是不可或缺的知识组成部分。

import numpy as np

def clark_transform(ia, ib, ic):
    """执行克拉克变换"""
    alpha_beta = (2/3)*np.array([[1,-0.5,-0.5],[0,np.sqrt(3)/2,-np.sqrt(3)/2]])
    return alpha_beta @ np.array([ia,ib,ic])

def park_transform(theta, ia, ib, ic=None, i_alpha=None, i_beta=None):
    """执行帕克变换"""
    if not isinstance(ic,type(None)):
        i_alpha,i_beta = clark_transform(ia,ib,ic)
    
    d_q = [[np.cos(theta), np.sin(theta)],[-np.sin(theta), np.cos(theta)]]
    id_iq=np.dot(d_q,[i_alpha,i_beta])
    return tuple(id_iq.flatten())