给定R的基(1，2、一2)，(4，3，2)，(1，2，1)}，利用格拉姆-施密特过程得到一组规范正交基

首先，我们需要将给定的基进行正交化。格拉姆-施密特过程是一种将线性无关的向量组正交化的方法。具体步骤如下：

1. 将第一个向量 $v_1$ 归一化得到 $u_1 = \frac{1}{\left\|v_1\right\|} v_1$。

$$
u_1 = \frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}
$$

2. 对于第 $i$ 个向量 $v_i$，将其投影到前 $i-1$ 个向量张成的子空间上，得到其在子空间上的投影向量 $p$，然后将其减去投影向量，得到一个新的向量 $v_i'$。即：

$$
p = \frac{\left\langle v_i,u_1\right\rangle}{\left\|u_1\right\|^2}u_1 + \frac{\left\langle v_i,u_2\right\rangle}{\left\|u_2\right\|^2}u_2 +\cdots +\frac{\left\langle v_i,u_{i-1}\right\rangle}{\left\|u_{i-1}\right\|^2}u_{i-1}
$$

$$
v_i' = v_i - p
$$

3. 将 $v_i'$ 归一化得到 $u_i = \frac{1}{\left\|v_i'\right\|} v_i'$。

$$
v_2' = \begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}-\frac{\left\langle \begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\right\rangle}{\left\|\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\right\|^2}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{pmatrix}
$$

$$
u_2 = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{1}{9}+\frac{16}{9}}} \begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{\sqrt{42}}\\-\frac{1}{\sqrt{42}}\\-\frac{4}{\sqrt{42}}\end{pmatrix}
$$

$$
v_3' = \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}-\frac{\left\langle \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\right\rangle}{\left\|\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\right\|^2}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}-\frac{\left\langle \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\frac{5}{\sqrt{42}}\\-\frac{1}{\sqrt{42}}\\-\frac{4}{\sqrt{42}}\end{pmatrix}\right\rangle}{\left\|\begin{pmatrix}\frac{5}{\sqrt{42}}\\-\frac{1}{\sqrt{42}}\\-\frac{4}{\sqrt{42}}\end{pmatrix}\right\|^2}\begin{pmatrix}\frac{5}{\sqrt{42}}\\-\frac{1}{\sqrt{42}}\\-\frac{4}{\sqrt{42}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}\\\frac{5}{3}\end{pmatrix}
$$

$$
u_3 = \frac{1}{\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{16}{9}+\frac{25}{9}}} \begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}\\\frac{5}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{\sqrt{21}}\\-\frac{4}{\sqrt{21}}\\\frac{5}{\sqrt{21}}\end{pmatrix}
$$

最终得到的规范正交基为 $\{u_1,u_2,u_3\}$。