matlab解超定方程组

Matlab 中可以使用 `pinv` 函数求解超定方程组的最小二乘解。假设我们有一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 和一个 $m \times 1$ 的向量 $b$，其中 $m > n$。我们的目标是找到一个 $n \times 1$ 的向量 $x$，使得 $Ax \approx b$。

使用最小二乘法解决这个问题，我们需要最小化残差平方和，即 $||Ax - b||_2^2$。我们可以使用矩阵求导的方法求解最小二乘解：

$$ x = (A^TA)^{-1}A^Tb $$

其中，$A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵，$A^TA$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，如果它是可逆的，则可以使用逆矩阵求解。但是，当 $A^TA$ 不可逆时，我们可以使用广义逆矩阵（也称为伪逆矩阵）来解决这个问题。Matlab 中的 `pinv` 函数就是用来求矩阵的广义逆矩阵的。

下面是一个使用 `pinv` 函数求解超定方程组的示例代码：

% 生成随机数据
m = 100; n = 10;
A = randn(m,n);
x_true = randn(n,1);
b = A*x_true + randn(m,1);

% 求解最小二乘问题
x_ls = pinv(A)*b;

% 计算误差
err = norm(x_ls - x_true);

% 输出结果
fprintf('误差: %f\n', err);

在这个例子中，我们生成了一个随机的 $m \times n$ 矩阵 `A` 和一个随机的 $n \times 1$ 向量 `x_true`，并计算 $m \times 1$ 向量 `b`。我们使用 `pinv` 函数求解 $Ax \approx b$ 的最小二乘解 `x_ls`，并计算 `x_ls` 与 `x_true` 之间的误差。最后，我们输出误差的值。