python程序，用龙贝格积分法计算积分

以下是使用龙贝格积分法计算积分的 Python 代码示例：

def f(x):
    # 定义被积函数
    return x**2 + 2*x + 1

def adaptive_quad(func, a, b, tol=1e-5):
    # 定义递归函数
    c = (a + b) / 2
    h = b - a
    fa, fb, fc = func(a), func(b), func(c)
    S1 = h / 6 * (fa + 4 * fc + fb)
    c1 = (a + c) / 2
    c2 = (c + b) / 2
    fd, fe = func(c1), func(c2)
    S2 = h / 12 * (fa + 4 * fd + 2 * fc + 4 * fe + fb)
    if abs(S2 - S1) < 15 * tol:
        return S2 + (S2 - S1) / 15
    else:
        return adaptive_quad(func, a, c, tol / 2) + adaptive_quad(func, c, b, tol / 2)

a, b = 0, 1 # 积分区间
print(adaptive_quad(f, a, b)) # 输出积分结果

在这个代码示例中，我们首先定义了被积函数 `f(x)`。然后，我们定义了一个递归函数 `adaptive_quad(func, a, b, tol)`，它使用龙贝格积分法计算积分。

在递归函数中，我们首先计算出积分区间的中点 `c` 和区间长度 `h`，然后计算出在区间两端和中点处的函数值 `fa`、`fb` 和 `fc`。接下来，我们使用这些函数值来计算一个三阶近似积分 `S1`。

然后，我们计算出在区间四分点处的函数值 `fd` 和 `fe`，并使用这些函数值来计算一个五阶近似积分 `S2`。

最后，我们检查五阶近似积分和三阶近似积分之间的差别是否小于误差容限 `tol` 的 15 倍。如果是，我们返回五阶近似积分加上一个微小的修正；否则，我们递归地计算积分区间的左半部分和右半部分，将误差容限减半，并将左半部分和右半部分的积分结果相加。

最后，我们在主程序中定义积分区间 `a` 和 `b`，并使用递归函数 `adaptive_quad()` 计算积分，并输出积分结果。