利用 kaiser 窗设计 fir 低通滤波器,通带边界频率 0.3π,阻带边界频 率 0.5π,阻

带最大衰减为 60dB，采样频率为 2π。

首先，需要确定滤波器的系数长度，可以使用 Kaiser 窗口的公式来计算：

$$M=\frac{A-8}{4.57(w_c-w_s)}+1$$

其中，$M$ 为滤波器的系数长度，$A$ 为阻带最大衰减，$w_c$ 和 $w_s$ 分别为通带和阻带的边界频率，$w_c-w_s$ 为过渡带宽，$4.57$ 是一个经验值。

代入参数，得到：

$$M=\frac{60-8}{4.57(0.5\pi-0.3\pi)}+1=32$$

因此，滤波器的系数长度为 $32$。

接下来，需要确定 Kaiser 窗口的 beta 参数。beta 参数可以控制窗口的平坦度和副瓣水平。可以使用以下公式来计算 beta 参数：

$$\beta= \begin{cases}
0.1102(A-8.7), & A > 50 \\
0.5842(A-21)^{0.4}+0.07886(A-21), & 21 \leq A \leq 50 \\
0.0, & A < 21
\end{cases}$$

代入参数，得到：

$$\beta=0.1102(60-8.7)=5.653$$

接下来，可以使用以下公式来计算 Kaiser 窗口的形状：

$$w[n]=\frac{I_0(\beta\sqrt{1-(\frac{n-M/2}{M/2})^2})}{I_0(\beta)}$$

其中，$I_0$ 是修正的零阶贝塞尔函数。可以使用 Python 中的 SciPy 库来计算：

import numpy as np
from scipy.signal import kaiser

M = 32
wc = 0.3 * np.pi
ws = 0.5 * np.pi
A = 60
beta = 5.653

h = np.zeros(M)
for n in range(M):
    h[n] = np.sin(wc * (n - M/2)) / (np.pi * (n - M/2)) if n != M/2 else wc / np.pi
w = kaiser(M, beta)
h = h * w

最后，可以使用以上代码生成滤波器的系数 $h$，其中 kaiser 函数用于生成 Kaiser 窗口。