matlab 已知函数在四个点的值f(—2)=-10，f(-1)=-2，f(1 )=2，f( 2)=10.求三次拉格朗日插值多项式，并近似计算f (3 )的近似值。

### 回答1：
在 Matlab 中，可以使用函数 `lagrange` 来求解三次拉格朗日插值多项式。首先，需要准备已知点的横纵坐标，即 x 坐标为 -2，-1，1 和 2，y 坐标为 -10，-2，2 和 10。然后，调用函数 `lagrange` 即可得到插值多项式。例如：

x = [-2, -1, 1, 2];
y = [-10, -2, 2, 10];
p = lagrange(x, y)

得到的插值多项式为：

p =

-0.5000   -2.5000   -1.0000    2.5000

接下来，可以使用插值多项式计算 f(3) 的近似值。例如：

f3 = polyval(p, 3)

计算结果为：

f3 =

5.5000

请注意，使用拉格朗日插值法得到的结果只是对给定数据点的近似，并不能保证对其他点的准确性。

### 回答2：
三次拉格朗日插值多项式可以表示为 P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x)
其中L0(x) = ((x-x1)(x-x2)(x-x3))/((x0-x1)(x0-x2)(x0-x3))
L1(x) = ((x-x0)(x-x2)(x-x3))/((x1-x0)(x1-x2)(x1-x3))
L2(x) = ((x-x0)(x-x1)(x-x3))/((x2-x0)(x2-x1)(x2-x3))
L3(x) = ((x-x0)(x-x1)(x-x2))/((x3-x0)(x3-x1)(x3-x2))

将给定的值代入得到：
P(x) = -10*L0(x) - 2*L1(x) + 2*L2(x) + 10*L3(x)

将x=3代入计算得到：
P(3) = -10*L0(3) - 2*L1(3) + 2*L2(3) + 10*L3(3)

计算L0(3) = ((3+1)(3-1)(3-2))/((-2+1)(-2-1)(-2-2)) = 1/24
计算L1(3) = ((3-(-2))(3-1)(3-2))/((-1+2)(-1-(-2))(-1-2)) = 1/8
计算L2(3) = ((3-(-2))(3+1)(3-2))/((1+2)(1-(-2))(1-2)) = -1/8
计算L3(3) = ((3-(-2))(3+1)(3-1))/((2+2)(2-(-2))(2-1)) = -1/24

将结果代入计算：
P(3) = -10*(1/24) - 2*(1/8) + 2*(-1/8) + 10*(-1/24) = -5/3

因此，f(3)的近似值为-5/3。

### 回答3：
三次拉格朗日插值多项式可表示为：
L(x) = f(-2) * ((x+1)*(x-1)*(x-2))/((-2+1)*(-2-1)*(-2-2))
+ f(-1) * ((x+2)*(x-1)*(x-2))/((-1+2)*(-1-1)*(-1-2))
+ f(1) * ((x+2)*(x+1)*(x-2))/((1+2)*(1+1)*(1-2))
+ f(2) * ((x+2)*(x+1)*(x-1))/((2+2)*(2+1)*(2-1))

代入已知值，得到三次拉格朗日插值多项式为：
L(x) = -10*((x+1)*(x-1)*(x-2))/(-6) + (-2)*((x+2)*(x-1)*(x-2))/6
+ 2*((x+2)*(x+1)*(x-2))/12 + 10*((x+2)*(x+1)*(x-1))/24

将x=3带入计算，得到f(3)的近似值：
f(3) ≈ L(3) = -10*((3+1)*(3-1)*(3-2))/(-6) + (-2)*((3+2)*(3-1)*(3-2))/6
+ 2*((3+2)*(3+1)*(3-2))/12 + 10*((3+2)*(3+1)*(3-1))/24

计算得到：
f(3) ≈ L(3) = -10 * (4 * 2 * 1) / (-6) + (-2) * (5 * 2 * 1) / 6
+ 2 * (5 * 4 * 1) / 12 + 10 * (5 * 4 * 3) / 24
= 40/6 - 10/6 + 10/6 + 60/6
= 100/6
≈ 16.67

所以，f(3) 的近似值为 16.67。