matlab2020a版本 已知函数在四个点的值f(—2)=-10，f(-1)=-2，f(1 )=2，f( 2)=10.求三次拉格朗日插值多项式，并近似计算f (3 )的近似值。

### 回答1：
在 Matlab 中，可以使用 `interp1` 函数来计算三次拉格朗日插值多项式。首先，需要输入已知函数值的点的坐标和函数值。在本题中，这些信息分别为：

x = [-2, -1, 1, 2];
y = [-10, -2, 2, 10];

然后，使用 `interp1` 函数计算三次拉格朗日插值多项式：

p = interp1(x, y, 'spline');

这样，就可以得到多项式 `p` 了。

接下来，可以使用多项式函数 `polyval` 近似计算函数在 $x=3$ 处的近似值。

f3 = polyval(p, 3);

注意，这里的结果仅是近似值，并不能作为函数在 $x=3$ 处的精确值。

### 回答2：
首先，我们可以根据给定的四个点的值来构造三次拉格朗日插值多项式。三次拉格朗日插值多项式的一般形式如下：

p(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)f(x0)/((x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3)) +
(x - x0)(x - x2)(x - x3)f(x1)/((x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3)) +
(x - x0)(x - x1)(x - x3)f(x2)/((x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3)) +
(x - x0)(x - x1)(x - x2)f(x3)/((x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2))

代入给定的四个点的值和位置，我们可以得到具体的拉格朗日插值多项式：

p(x) = (x + 2)(x + 1)(x - 1)f(-2)/((-2 + 2)(-2 + 1)(-2 - 1)) +
(x + 2)(x - 2)(x - 1)f(-1)/((-1 + 2)(-1 + 2)(-1 - 2)) +
(x + 2)(x - 2)(x + 1)f(1)/((1 + 2)(1 + 2)(1 - 2)) +
(x - 2)(x - 1)(x + 1)f(2)/((2 - 2)(2 - 1)(2 + 1))

简化得到：

p(x) = -2x^3 + x^2 + 2

接下来，我们可以使用已经求得的三次拉格朗日插值多项式来近似计算f(3)的近似值。将x取为3，代入上面求得的多项式中，我们可以得到：

p(3) = -2(3)^3 + (3)^2 + 2 = -54 + 9 + 2 = -43

因此，f(3)的近似值为-43。

### 回答3：
根据拉格朗日插值的原理，可以通过已知的四个点的函数值构造出三次拉格朗日插值多项式。

首先，我们可以根据给定的四个点和函数值，构造出拉格朗日插值函数的基函数：
L1(x) = (x - (-1))(x - 1)(x - 2) / ((-2 - (-1))( -2 - 1)( -2 - 2)) = -x^3 / 12 + 2x^2 / 3 - 2x
L2(x) = (x - (-2))(x - 1)(x - 2) / ((-1 - (-2))( -1 - 1)( -1 - 2)) = 3x^3 / 8 - 5x^2 / 4 + 5x / 8
L3(x) = (x - (-2))(x - (-1))(x - 2) / ((1 - (-2))( 1 - (-1))( 1 - 2)) = -3x^3 / 8 + 3x^2 / 4 + x / 8
L4(x) = (x - (-2))(x - (-1))(x - 1) / ((2 - (-2))( 2 - (-1))( 2 - 1)) = x^3 / 12 - x^2 / 3 - x / 4

然后，我们可以构造出三次拉格朗日插值多项式：
P(x) = f(-2)L1(x) + f(-1)L2(x) + f(1)L3(x) + f(2)L4(x)
= (-10)(-x^3 / 12 + 2x^2 / 3 - 2x) + (-2)(3x^3 / 8 - 5x^2 / 4 + 5x / 8) + 2(-3x^3 / 8 + 3x^2 / 4 + x / 8) + 10(x^3 / 12 - x^2 / 3 - x / 4)
= (7/6)x^3 + (19/6)x^2 - 3x

最后，我们可以用P(x)近似计算f(3)的近似值：
f(3) ≈ P(3) = (7/6)(3)^3 + (19/6)(3)^2 - 3(3)
= 7(3)^3/6 + 19(3)^2/6 - 9
= 63/2 + 171/2 - 9
= 225/2
= 112.5

所以，f(3)的近似值为112.5。