一维数组解01背包问题

对于一维数组解01背包问题，可以使用动态规划来解决。假设有n个物品和一个容量为C的背包，物品的重量分别为w1, w2, ..., wn，价值分别为v1, v2, ..., vn。

我们可以定义一个一维数组dp，其中dp[j]表示背包容量为j时能够获取的最大价值。初始时，dp数组全部初始化为0。

然后，我们从第一个物品开始遍历到第n个物品，对于每个物品i，我们从背包容量C开始向前遍历到物品i的重量wi。对于每个背包容量j，我们比较两种情况：

1. 如果物品i的重量wi大于背包容量j，则不能将物品i放入背包中，此时dp[j]保持不变，即dp[j] = dp[j]。
2. 如果物品i的重量wi小于等于背包容量j，则可以选择将物品i放入背包中。此时，如果放入物品i，背包容量变为j-wi，所能获取的最大价值为dp[j-wi] + vi。我们比较放入和不放入物品i两种情况下所能获取的最大价值，取较大值更新dp[j]，即dp[j] = max(dp[j], dp[j-wi] + vi)。

最后，当遍历完所有物品后，dp[C]即为所求的背包问题的最优解，即背包容量为C时能够获取的最大价值。

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相关问题

01背包问题动态规划一维数组

引用中提到，0-1背包问题的一维实现可以通过隐藏二维数组的第一维来实现。因此，0-1背包问题的一维实现的核心代码如下：

// 0-1背包问题一维数组优化的核心代码
for(int i=1; i<=n; i++) {
    for(int j=V; j>=vol[i]; j--) {
        c[j = max(c[j], c[j-vol[i]] + val[i]); // j>=vol[i时执行
    }
}

其中，c[j]表示将前i件物品放入容量为j的背包中的最大价值，vol[i]表示第i件物品的体积，val[i]表示第i件物品的价值。

通过引用中的解释，我们可以理解为什么可以利用一维数组优化0-1背包问题。0-1背包问题的一维实现的状态转移方程和二维实现的状态转移方程是一致的，只是隐藏了二维数组的第一维。因此，在本质上，0-1背包问题的一维实现和二维实现的原理是一致的。

综上所述，上述的代码段即为0-1背包问题的一维数组优化的核心代码。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [0-1背包问题的一维数组优化解析](https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/126071689)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"]
[ .reference_list ]

滚动数组法01背包问题

滚动数组法是常见的优化动态规划空间复杂度的方法之一，适用于状态转移方程只与前一层状态有关的问题。对于 01 背包问题，可以使用滚动数组法来降低空间复杂度。

具体来说，对于一维的动态规划数组，我们可以将其视为一个长度为 n 的数组，然后用一个长度为 2 的滚动数组 dp 来代替。每次更新 dp 数组时，只需要用对应的值更新 dp[(i-1)%2][j] 和 dp[i%2][j] 两个位置即可。这样就可以实现只保留前一层状态的目的，从而将空间复杂度降低到 O(2w)。

以下是使用滚动数组法解决 01 背包问题的示例代码：

def knapsack(W, wt, val):
    n = len(wt)
    dp = [[0]*(W+1) for _ in range(2)]
    for i in range(n):
        for j in range(W+1):
            if j >= wt[i]:
                dp[i%2][j] = max(dp[(i-1)%2][j-wt[i]] + val[i], dp[(i-1)%2][j])
            else:
                dp[i%2][j] = dp[(i-1)%2][j]
    return dp[(n-1)%2][W]

其中，W 表示背包的容量，wt 和 val 分别表示物品的重量和价值，n 表示物品的数量。