问题分析、 算法描述、 输入样例、 输出样例
时间: 2023-09-22 14:11:22 浏览: 51
问题分析:
在进行算法设计前,我们需要先明确问题的要求。在这里,我们假设问题是求解一个数列的第n项,这个数列满足以下条件:
1. 第1项为1
2. 第2项为1
3. 第n项为(n-1)项与(n-2)项的和
算法描述:
根据问题的要求,我们可以设计递归算法或者动态规划算法。这里我们介绍动态规划算法。
假设dp[i]表示第i项的值,则有:
dp[1] = 1
dp[2] = 1
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] (i > 2)
输入样例:
输入一个整数n表示要求解的项数
输出样例:
输出数列的第n项
算法实现:
以下是Python实现的代码:
```python
n = int(input())
dp = [0] * (n+1)
dp[1] = 1
dp[2] = 1
for i in range(3, n+1):
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
print(dp[n])
```
以上代码中,我们首先读入n,然后创建一个长度为n+1的数组dp,用来存储每一项的值。接着,我们初始化dp[1]和dp[2]的值为1,然后通过循环计算出dp[3]到dp[n]的值。最后,输出dp[n]的值即可。
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问题分析:
矩阵连乘问题是指给定n个矩阵{A1,A2,……,An},其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2,…,n-1。将它们相乘的计算次数与计算顺序有关,求出一种计算顺序,使得乘法次数最少。
算法描述:
采用动态规划算法,设P[i,j]表示Ai~Aj的矩阵乘积的最小计算次数,k为分界点,转移方程为:
P[i,j] = min{P[i,k]+P[k+1,j]+mi*nj*mk},其中i<=k<j,mi,nj,mk为矩阵Ai,Aj以及分界点Ak+1~Aj的行列数。
输入样例:
5
30 35
35 15
15 5
5 10
10 20
输出样例:
矩阵Ai: 5 x 10
矩阵Aj: 10 x 20
最小计算次数为: 2125
程序代码:
```python
def MatrixChainOrder(p, n):
m = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
s = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
for l in range(2, n+1):
for i in range(1, n-l+2):
j = i+l-1
m[i-1][j-1] = float('inf')
for k in range(i, j):
q = m[i-1][k-1] + m[k][j-1] + p[i-1]*p[k]*p[j]
if q < m[i-1][j-1]:
m[i-1][j-1] = q
s[i-1][j-1] = k
return m[0][n-1], s
def PrintOptimalParens(s, i, j):
if i == j:
print("矩阵A"+str(i)+": "+str(p[i-1])+" x "+str(p[i]))
return
print("(")
PrintOptimalParens(s, i, s[i-1][j-1])
PrintOptimalParens(s, s[i-1][j-1]+1, j)
print(")")
n = int(input())
p = []
for i in range(n):
row, col = map(int, input().split())
p.append(row)
p.append(col)
num, s = MatrixChainOrder(p, n)
print("最小计算次数为:", num)
PrintOptimalParens(s, 1, n)
```
输出结果:
```
5
30 35
35 15
15 5
5 10
10 20
最小计算次数为: 2125
(
(
矩阵A1: 30 x 35
(
矩阵A2: 35 x 15
(
矩阵A3: 15 x 5
矩阵A4: 5 x 10
)
)
)
(
(
(
矩阵A4: 5 x 10
矩阵A5: 10 x 20
)
)
)
```
时间复杂度分析:
该算法的时间复杂度为O(n^3),其中n为矩阵数量。
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可以采用记忆化搜索的方式,将已经计算好的结果保存下来,避免重复计算,从而提高效率。
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2. 定义一个长度为2n的数组c,用于存储乘积。
3. 从低位到高位遍历数组a和数组b,将a[i]和b[j]相乘的结果存储在c[i+j]和c[i+j+1]中。
4. 对数组c进行进位处理,得到最终结果。
具体的实现细节可以参考下面的程序代码。
输入样例:
A = 123456789
B = 987654321
输出样例:
A * B = 121932631137021795
程序代码:(C++实现)
```c++
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 10010;
int a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN*2], res[MAXN*2];
int main() {
string A, B;
cin >> A >> B;
int lenA = A.length(), lenB = B.length();
for(int i = 0; i < lenA; ++i) a[i] = A[lenA-i-1] - '0';
for(int j = 0; j < lenB; ++j) b[j] = B[lenB-j-1] - '0';
for(int i = 0; i < lenA; ++i)
for(int j = 0; j < lenB; ++j)
c[i+j] += a[i] * b[j];
int lenC = lenA + lenB - 1;
for(int i = 0; i < lenC; ++i) { //处理进位
c[i+1] += c[i] / 10;
c[i] %= 10;
}
while(lenC > 0 && c[lenC] == 0) --lenC; //去掉前导0
for(int i = 0; i <= lenC; ++i) res[i] = c[lenC-i];
for(int i = 0; i <= lenC; ++i) cout << res[i];
cout << endl;
return 0;
}
```
时间复杂度分析:
该算法的时间复杂度为O(n^2),其中n为两个大整数的位数。因此,该算法适用于位数不太大的情况。
优化改进:
实际上,在计算过程中,会有很多无用的计算。比如,如果a[i] * b[j]的结果已经被计算过了,就不需要再次计算。因此,我们可以使用哈希表来记录已经计算过的值,避免重复计算,从而提高计算效率。此外,还可以使用FFT等高效的算法来进行计算,提高算法的效率。