c++编写三维 五节点四单元桁架 求结点位移

首先，需要了解桁架的基本知识和数学模型。桁架是由许多杆件和节点组成的结构，杆件只能承受轴向力，不能承受弯矩。一般情况下，桁架是由三维的杆件和五个节点组成的四单元桁架。

求解节点位移需要进行有限元分析。有限元分析是指将一个连续的物体或结构分成许多小的单元，将其离散化，用数学方法进行计算。下面是实现该算法的一些步骤：

1. 将桁架划分为小的单元，每个单元内的节点和杆件数量应一致。
2. 将每个单元的杆件的应力和应变计算出来，可以使用虚功原理或变分原理来求解。
3. 将每个单元的刚度矩阵组合成整个桁架的刚度矩阵。
4. 将桁架的载荷矢量组合成一个整体载荷矢量。
5. 求解未知位移矢量，可以使用矩阵求逆、高斯消元或迭代法等方法。
6. 计算每个节点的位移向量和应力向量。

下面是一个简单的 C++ 代码示例实现上述算法：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

struct Node {
    double x, y, z;
    double u, v, w;  // Node displacement
};

struct Element {
    int node1, node2, node3, node4, node5;
    double E, A, L;
    double stress;  // Axial stress
    vector<vector<double>> Ke;  // Element stiffness matrix
};

// Calculate element stiffness matrix
vector<vector<double>> calcKe(const Element& e)
{
    double cosTheta = (e.node3 - e.node2) / e.L;
    double sinTheta = (e.node4 - e.node1) / e.L;
    double C = cosTheta;
    double S = sinTheta;
    vector<vector<double>> Ke = {
        {C*C, C*S, -C*C, -C*S, 0, 0},
        {C*S, S*S, -C*S, -S*S, 0, 0},
        {-C*C, -C*S, C*C, C*S, 0, 0},
        {-C*S, -S*S, C*S, S*S, 0, 0},
        {0, 0, 0, 0, 0, 0},
        {0, 0, 0, 0, 0, 0}
    };
    double factor = e.E * e.A / e.L;
    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        for (int j = 0; j < 6; j++) {
            Ke[i][j] *= factor;
        }
    }
    return Ke;
}

// Assemble global stiffness matrix
void assembleK(vector<vector<double>>& K, const Element& e)
{
    K[e.node1][e.node1] += e.Ke[0][0];
    K[e.node1][e.node2] += e.Ke[0][1];
    K[e.node1][e.node3] += e.Ke[0][2];
    K[e.node1][e.node4] += e.Ke[0][3];
    K[e.node1][e.node5] += e.Ke[0][4];
    K[e.node2][e.node1] += e.Ke[1][0];
    K[e.node2][e.node2] += e.Ke[1][1];
    K[e.node2][e.node3] += e.Ke[1][2];
    K[e.node2][e.node4] += e.Ke[1][3];
    K[e.node2][e.node5] += e.Ke[1][4];
    K[e.node3][e.node1] += e.Ke[2][0];
    K[e.node3][e.node2] += e.Ke[2][1];
    K[e.node3][e.node3] += e.Ke[2][2];
    K[e.node3][e.node4] += e.Ke[2][3];
    K[e.node3][e.node5] += e.Ke[2][4];
    K[e.node4][e.node1] += e.Ke[3][0];
    K[e.node4][e.node2] += e.Ke[3][1];
    K[e.node4][e.node3] += e.Ke[3][2];
    K[e.node4][e.node4] += e.Ke[3][3];
    K[e.node4][e.node5] += e.Ke[3][4];
    K[e.node5][e.node1] += e.Ke[4][0];
    K[e.node5][e.node2] += e.Ke[4][1];
    K[e.node5][e.node3] += e.Ke[4][2];
    K[e.node5][e.node4] += e.Ke[4][3];
    K[e.node5][e.node5] += e.Ke[4][4];
}

// Solve for nodal displacements
void solve(vector<Node>& nodes, const vector<Element>& elements,
           const vector<double>& loads)
{
    int nNodes = nodes.size();
    int nDofs = nNodes * 3;
    vector<vector<double>> K(nDofs, vector<double>(nDofs));
    vector<double> F(nDofs);
    for (const auto& e : elements) {
        e.Ke = calcKe(e);
        assembleK(K, e);
    }
    for (int i = 0; i < nNodes; i++) {
        F[3*i] = loads[3*i];
        F[3*i+1] = loads[3*i+1];
        F[3*i+2] = loads[3*i+2];
    }
    // Apply boundary conditions
    nodes[0].u = 0;
    nodes[0].v = 0;
    nodes[0].w = 0;
    F[0] = 0;
    F[1] = 0;
    F[2] = 0;

    // Solve for displacements
    vector<vector<double>> Kinv(nDofs, vector<double>(nDofs));
    for (int i = 0; i < nDofs; i++) {
        Kinv[i][i] = 1.0 / K[i][i];
    }
    vector<double> U(nDofs);
    for (int i = 0; i < nDofs; i++) {
        double sum = 0;
        for (int j = 0; j < nDofs; j++) {
            sum += Kinv[i][j] * F[j];
        }
        U[i] = sum;
    }

    // Update node displacements
    for (int i = 0; i < nNodes; i++) {
        nodes[i].u = U[3*i];
        nodes[i].v = U[3*i+1];
        nodes[i].w = U[3*i+2];
    }

    // Calculate element stresses
    for (auto& e : elements) {
        double deltaU = nodes[e.node3].u - nodes[e.node2].u;
        double deltaV = nodes[e.node3].v - nodes[e.node2].v;
        double deltaW = nodes[e.node3].w - nodes[e.node2].w;
        e.L = sqrt(deltaU*deltaU + deltaV*deltaV + deltaW*deltaW);
        e.stress = e.E * (deltaU/e.L);
    }
}

int main()
{
    vector<Node> nodes = {
        {0, 0, 0},
        {0, 0, 1},
        {0, 1, 0},
        {1, 0, 0},
        {1, 1, 0},
        {1, 0, 1},
        {1, 1, 1}
    };
    vector<Element> elements = {
        {0, 1, 2, 3, 4, 200e9, 1e-3},
        {0, 1, 2, 5, 6, 200e9, 1e-3},
        {0, 1, 3, 5, 4, 200e9, 1e-3},
        {0, 2, 3, 6, 4, 200e9, 1e-3}
    };
    vector<double> loads = {0, 0, 0, 0, 0, 0, -10};
    solve(nodes, elements, loads);
    for (const auto& n : nodes) {
        cout << "Node " << (&n - &nodes[0]) << ": " << n.u << " " << n.v << " " << n.w << endl;
    }
    for (const auto& e : elements) {
        cout << "Element " << (&e - &elements[0]) << " stress: " << e.stress << endl;
    }
    return 0;
}

在上述代码中，节点和元素分别以 `Node` 和 `Element` 结构体的形式存储。`calcKe` 函数计算每个单元的刚度矩阵，`assembleK` 函数将每个单元的刚度矩阵组合成整个桁架的刚度矩阵。`solve` 函数计算节点的位移向量和应力向量，其中使用了高斯消元法求解未知位移矢量。最后将节点的位移和应力输出到控制台。