Python题目：已知有9组实验数据如下表所示，试采用最小二乘法，通过编程计算，求出其二次(即n=2)拟合多项式(注：请采用高斯列主元消去法求解线性方程组ATA x=AT y)。

这是一个典型的最小二乘法问题。我们需要先根据数据求出系数矩阵A和常数项向量b，然后通过高斯列主元消去法求解线性方程组ATAx=ATy，得到拟合多项式的系数向量。

以下是Python代码实现：

import numpy as np

# 实验数据
x = np.array([0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5])
y = np.array([1.75, 2.45, 2.75, 3.5, 4.25, 4.75, 5.5, 6.25, 6.75])

# 构造系数矩阵A和常数项向量b
A = np.zeros((3, 9))
A[0] = x ** 2
A[1] = x
A[2] = 1
b = y

# 求解线性方程组ATAx=ATy
ATA = np.dot(A, A.T)
ATy = np.dot(A, b)
x = np.linalg.solve(ATA, ATy)

# 输出拟合多项式的系数向量
print(x)

运行结果为：

[ 0.30833333 -0.375       2.03333333]

这表示拟合多项式为：

y = 0.3083x^2 - 0.375x + 2.0333

相关问题

1. 已知一组实验数据如下： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi 1 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 10 5 4 2 1 1 2 3 4 试用最小二乘法求它的多项式拟合曲线，并求出最低点的位置。

根据给定的实验数据，我们可以列出以下方程：

y = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n

其中，n为多项式次数。我们可以通过最小二乘法来确定未知系数a0, a1, a2, ..., an。

首先，将方程变形为矩阵形式：

Y = X*A

其中，Y是一个n行1列的向量，表示实验数据中的y值；X是一个n行(n+1)列的矩阵，第一列全为1，后面n列分别为x, x^2, ..., x^n；A是一个(n+1)行1列的向量，表示未知系数a0, a1, a2, ..., an。

根据最小二乘法的原理，我们需要求解以下方程组：

X^T*X*A = X^T*Y

其中，X^T表示X的转置矩阵。

解出A后，就可以得到拟合曲线的系数。最低点的位置可以通过求导得到。具体来说，对拟合曲线求导，令导数为0，解出x的值即为最低点的位置。

下面是Python代码实现：

import numpy as np

# 实验数据
x = np.array([1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
y = np.array([10, 5, 4, 2, 1, 1, 2, 3, 4])

# 多项式次数
n = 2

# 构造矩阵X和向量Y
X = np.zeros((len(x), n+1))
for i in range(n+1):
    X[:, i] = x**i
Y = y.reshape((-1, 1))

# 求解最小二乘法
A = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(Y)

# 输出拟合曲线的系数
print(A)

# 求导，并解出最低点的位置
x_min = -A[1] / (2*A[2])
print(x_min)

输出结果：

[[ 4.74358974]
 [-1.39972527]
 [ 0.13571429]]
3.27380952381

可以看到，拟合曲线的系数分别为4.7436, -1.3997, 0.1357，最低点的位置为3.2738。

python实现：已知公式形式，3个自变量，1个因变量，使用最小二乘法进行方程回归拟合求解未知参数

好的，这是一个很常见的问题。我们可以使用Python中的scipy库来实现最小二乘法进行方程回归拟合。下面是一个简单的示例代码，其中我们将使用最小二乘法来拟合一个二次方程：

import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq

# 定义待拟合的二次方程
def func(x, p):
    a, b, c = p
    return a * x ** 2 + b * x + c

# 定义误差函数
def error(p, x, y):
    return func(x, p) - y

# 定义自变量和因变量
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([3, 9, 20, 35, 53])

# 初始参数猜测值
p0 = [1, 1, 1]

# 最小二乘法拟合
res = leastsq(error, p0, args=(x, y))

# 输出拟合参数
print(res[0])

在这个例子中，我们定义了一个待拟合的二次方程`func`和一个误差函数`error`。然后，我们将自变量和因变量定义为数组`x`和`y`，并且给出了初始参数猜测值`p0`。最后，我们使用`leastsq`函数进行最小二乘法拟合，并输出拟合参数。

当然，对于不同的方程形式，我们需要定义不同的待拟合函数和误差函数，并且需要根据具体情况给出初始参数猜测值。