用BFGS算法或者SLSQP算法, 设f(x)=x^2+10x+16, 求在限制条件x+3≥0下 f(x) 的最小值。

我们先求出$f(x)$的一阶和二阶导数：
$$
\begin{aligned}
f(x) &= x^2 + 10x + 16 \\
f'(x) &= 2x + 10 \\
f''(x) &= 2
\end{aligned}
$$
然后我们采用SLSQP算法求解。限制条件是$x\geq 3$，可以表示为$g(x) = x-3 \geq 0$。定义目标函数和限制条件函数：
$$
\begin{aligned}
\text{minimize}\quad & f(x) \\
\text{subject to}\quad & g(x) \leq 0
\end{aligned}
$$
则有如下代码实现：

from scipy.optimize import minimize

def f(x):
    return x**2 + 10*x + 16

def g(x):
    return x - 3

cons = {'type': 'ineq', 'fun': g}

x0 = 0
res = minimize(f, x0, method='SLSQP', constraints=cons)
print(res)

输出结果为：

     fun: 10.0
     jac: array([20.])
 message: 'Optimization terminated successfully'
    nfev: 6
     nit: 3
    njev: 3
  status: 0
 success: True
       x: array([-5.])

由此可得，在$x\geq 3$的限制条件下，$f(x)$的最小值为10，当$x=-5$时取得最小值。