对角占优矩阵方程组

对角占优矩阵方程组是指系数矩阵为严格对角占优矩阵的线性方程组。对于这类方程组，可以使用高斯-赛德尔迭代法或Jacobi迭代法等迭代方法求解，这些方法具有收敛快、实现简单等特点。

以Jacobi迭代法为例，对于一个n元线性方程组$Ax=b$，其中$A$为严格对角占优矩阵，首先将系数矩阵$A$分解为对角矩阵$D$和非对角矩阵$L+U$的和，即$A=D-L-U$，其中$D$为$A$的对角线矩阵，$L$为$A$的严格下三角矩阵，$U$为$A$的严格上三角矩阵。然后将方程组改写为$Dx=(L+U)x+b$，即$x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b$，其中$x^{(k)}$表示第$k$次迭代的解向量。迭代终止条件可以是$\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|<\epsilon$或者达到最大迭代次数等。

以下是MATLAB中Jacobi迭代法求解对角占优矩阵方程组的示例代码：

% 生成一个10阶的对角占优矩阵
n = 10;
A = diag(4*ones(n,1)) + diag(-1*ones(n-1,1),1) + diag(-1*ones(n-1,1),-1);

% 生成右端项b
b = rand(n,1);

% Jacobi迭代法求解方程组Ax=b
x = zeros(n,1); % 初始解向量
D = diag(diag(A)); % 提取对角线元素构成对角矩阵D
L = tril(A,-1); % 提取下三角部分构成矩阵L
U = triu(A,1); % 提取上三角部分构成矩阵U
D_inv = inv(D); % 对角矩阵的逆
max_iter = 100; % 最大迭代次数
tol = 1e-6; % 迭代终止条件
for k = 1:max_iter
    x_new = D_inv*(L+U)*x + D_inv*b; % 迭代公式
    if norm(x_new-x)<tol % 满足终止条件
        break;
    end
    x = x_new; % 更新解向量
end

% 输出结果
fprintf('解向量：\n');
disp(x);
fprintf('误差范数：\n');
disp(norm(A*x-b));

其中，通过diag函数生成对角占优矩阵$A$，然后分别提取$A$的对角线、下三角和上三角部分构成对角矩阵$D$、下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$，使用inv函数求解对角矩阵$D$的逆$D^{-1}$，然后使用迭代公式求解方程组的解向量$x$，直到满足迭代终止条件。最后，输出解向量和误差范数。