基于givens变换的QR分解代码

以下是基于Givens变换的QR分解的MATLAB代码实现：

function [Q,R] = qr_givens(A)
% 基于Givens变换的QR分解
% 输入：矩阵A
% 输出：正交矩阵Q，上三角矩阵R

[m,n] = size(A);
Q = eye(m);
R = A;

for j = 1:n
    for i = m:-1:j+1
        % 计算Givens矩阵
        G = eye(m);
        [c,s] = givens(R(i-1,j), R(i,j));
        G(i-1:i, i-1:i) = [c -s; s c];
        
        % 更新R和Q
        R = G * R;
        Q = Q * G';
    end
end

该函数输入一个矩阵A，输出正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得A = QR。在函数中，我们使用两层循环进行Givens变换，每次将矩阵R的一列中的下三角部分变为0。同时，我们也更新正交矩阵Q，使得Q*R = A。

需要注意的是，由于Givens变换是一种稳定的数值方法，因此基于Givens变换的QR分解可以避免舍入误差的影响，具有较好的数值稳定性。

相关问题

givens变换求QR分解例子

### 回答1：

给定矩阵A，求QR分解的例子可以是：A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。一种方法是使用Givens变换，具体步骤为：1）将A的第一列分解为一个单位向量v和一个标量r；2）构造Givens变换矩阵G，用它将A的第一列变换为rv；3）将变换后的矩阵乘以G^T，得到QR分解的结果。

### 回答2：
Givens变换是一种用于求解QR分解的方法，它可以将一个矩阵变换为上三角矩阵。下面以一个例子来说明Givens变换求解QR分解的步骤：

假设有一个矩阵A：
A = [[2, 4, 1],
[1, 5, 3],
[3, 2, 6]]

第一步，选取第1列和第2列中的元素a和b，使得a不等于0。假设选取的元素为a=2和b=1。

第二步，计算Givens变换矩阵G:
G = [[c, -s, 0],
[s, c, 0],
[0, 0, 1]]
其中c和s分别是cosθ和sinθ，θ是通过下式计算的：θ = atan(b/a)。

在本例中，θ = atan(1/2) ≈ 0.4637，因此c ≈ 0.8776，s ≈ 0.4794。

第三步，计算Givens变换矩阵G与矩阵A的乘积，得到新的矩阵B：
B = GA = [[2, 4, 1],
[0, 4.90, 2.71],
[3, 2, 6]]

第四步，将Givens变换矩阵G左乘矩阵A，得到新的矩阵C：
C = GB ≈ [[2.309, 4.618, 1.154],
[0, 4.900, 2.714],
[0, 0, 4.149]]

重复以上步骤，对新的矩阵C继续进行Givens变换，最终得到一个上三角矩阵R。

因此，通过不断进行Givens变换，可以将原始矩阵A分解为QR，其中Q为由所有的Givens变换矩阵组成的正交矩阵，R为上三角矩阵。

这就是使用Givens变换求解QR分解的例子。

matlab 吉文斯(givens)变换求qr分解的代码

以下是使用吉文斯(givens)变换进行QR分解的MATLAB代码：

function [Q,R] = givens_qr(A)
% Givens QR分解
[m,n] = size(A);
Q = eye(m);
for j = 1:n
    for i = m:-1:j+1
        if A(i,j) ~= 0
            [c,s] = givens(A(j,j),A(i,j));
            G = [c -s; s c];
            A([j,i],j:n) = G*A([j,i],j:n);
            Q(:,[j,i]) = Q(:,[j,i])*G';
        end
    end
end
R = triu(A);
end

function [c,s] = givens(a,b)
% 计算Givens矩阵的元素
if b == 0
    c = 1;
    s = 0;
elseif abs(b) > abs(a)
    t = -a/b;
    s = 1/sqrt(1+t^2);
    c = s*t;
else
    t = -b/a;
    c = 1/sqrt(1+t^2);
    s = c*t;
end
end

函数`givens_qr`实现了吉文斯变换的QR分解，函数`givens`计算Givens矩阵的元素。由于吉文斯变换是一种稳定的QR分解算法，因此可以用于求解病态矩阵的QR分解。