基于givens变换的QR分解代码
时间: 2024-01-05 16:15:45 浏览: 128
以下是基于Givens变换的QR分解的MATLAB代码实现:
```
function [Q,R] = qr_givens(A)
% 基于Givens变换的QR分解
% 输入:矩阵A
% 输出:正交矩阵Q,上三角矩阵R
[m,n] = size(A);
Q = eye(m);
R = A;
for j = 1:n
for i = m:-1:j+1
% 计算Givens矩阵
G = eye(m);
[c,s] = givens(R(i-1,j), R(i,j));
G(i-1:i, i-1:i) = [c -s; s c];
% 更新R和Q
R = G * R;
Q = Q * G';
end
end
```
该函数输入一个矩阵A,输出正交矩阵Q和上三角矩阵R,使得A = QR。在函数中,我们使用两层循环进行Givens变换,每次将矩阵R的一列中的下三角部分变为0。同时,我们也更新正交矩阵Q,使得Q*R = A。
需要注意的是,由于Givens变换是一种稳定的数值方法,因此基于Givens变换的QR分解可以避免舍入误差的影响,具有较好的数值稳定性。
相关问题
使用matlab 分别实现基于Givens 变换的QR 分解。
在MATLAB中,可以使用内置的`qr`函数来进行矩阵的QR分解。然而,如果你想手动实现Givens变换的QR分解,这是一种用于逐行减少矩阵的方法,你可以按照以下步骤:
1. **了解Givens变换**:Givens变换是一种二维旋转,它可以在线性代数中用于消除矩阵元素。对于一个2x2的子矩阵,Givens变换可以用两个参数θ和φ来表示。
2. **初始化**:首先创建一个需要分解的m x n矩阵A。假设它是方阵(即m=n),因为Givens QR分解通常应用于方阵。
```matlab
A = rand(m, m); % 创建一个随机矩阵作为例子
```
3. **开始QR分解过程**:
- 初始化Q矩阵(单位正交矩阵)和R矩阵(上三角矩阵)。Q将存储累积的Givens变换,而R保存分解后的因子。
- 从第一列开始,对每一对列向量执行Givens变换,直到处理完整个矩阵。
```matlab
Q = eye(size(A)); % 初始Q矩阵全为1
R = A; % 初始R矩阵等于输入矩阵
for i = 1:m-1
for j = i+1:m
theta = atan2(-R(i,j), R(i,i));
phi = atan2(R(j,i)/cos(theta), R(j+1:i+1,j)/cos(theta));
Q(:,j) = Q(:,j)*[cos(phi), -sin(phi); sin(phi), cos(phi)];
R(i:j,j:end) = [R(i:j,j:end) * cos(theta); zeros(1,j-i-1)];
R(j+1:end,j) = R(j+1:end,j)./cos(theta);
end
end
```
4. **更新R矩阵**:最后一步是将Q矩阵应用到原始矩阵A上,得到最终的R矩阵(注意R是对角线以上的部分)。
```matlab
Atilde = Q * R;
```
使用 matlab 分别实现基于 Givens 变换、Householder 变换的 QR分解
在MATLAB中,QR分解是一种常用的矩阵分解技术,它将矩阵A表示为Q乘以R的形式,其中Q是一个正交矩阵(列向量相互正交且长度为1),而R是一个上三角矩阵。Givens变换和Householder变换是两种常见的用于求解QR分解的方法。
**1. Givens变换实现QR分解**:
Givens变换是一种特定类型的旋转,用于消除矩阵对角线元素之外的部分。在MATLAB中,可以使用`qrfac`函数结合`givens`函数来实现,例如:
```matlab
function [Q,R] = qr_givens(A)
[Q,R] = qrfac(A); % 先做初步的QR分解
for i = 1:size(A,1) - 1
for j = i+1:size(A,2)
[c,s] = givens(Q(i,:), Q(j,:)); % 计算Givens变换的系数
Q(:,j:end) = c*Q(:,j:end) - s*Q(:,i:i-1);
R(i,j:end) = c*R(i,j:end);
R(i+1:end,j) = s*R(i+1:end,j);
end
end
end
```
这里,`givens`函数返回旋转矩阵的系数c和s,然后更新Q和R矩阵。
**2. Householder变换实现QR分解**:
Householder变换则使用反射矩阵来消除矩阵元素。MATLAB同样有内置函数`qr`可以处理这个过程,但如果需要手动实现,可以这样做:
```matlab
function [Q,R] = qr_householder(A)
n = size(A,1);
R = A;
for k = 1:n-1
v = A(k:n,k); % 当前列向量
norm_v = norm(v);
if norm_v == 0
break; % 如果v全零,跳过此行
end
v = v / norm_v; % 正规化
H = eye(n) - 2 * v * v'; % 构造Householder反射矩阵
R(k:end,:) = H * R(k:end,:);
A(k:end,:) = H * A(k:end,:);
end
Q = A(1:k,:);
end
```
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