给定一个包含n个元素的一维线性序列 ，从这n个元素中找出第k小的元素， 。设 ，k = 8，采用线性时间选择算法解决该问题。 1) 写出算法实现代码并截屏程序运行结果。 2) 线性时间选择算法如何解决划分不平衡的问题？ 3) 分析线性时间选择算法的计算效率。

1. 算法实现代码及程序运行结果：

import random

def select(arr, k):
    if len(arr) == 1:
        return arr[0]
    pivot = random.choice(arr)
    lows = [num for num in arr if num < pivot]
    highs = [num for num in arr if num > pivot]
    pivots = [num for num in arr if num == pivot]
    if k < len(lows):
        return select(lows, k)
    elif k < len(lows) + len(pivots):
        return pivots[0]
    else:
        return select(highs, k - len(lows) - len(pivots))

arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9]
k = 8
print(select(arr, k))

程序运行结果为：

5

2. 线性时间选择算法如何解决划分不平衡的问题？

线性时间选择算法采用随机化划分的方式解决划分不平衡的问题。每次随机选择一个元素作为枢纽元素，然后将序列中的元素分为三部分：小于枢纽元素的元素、等于枢纽元素的元素和大于枢纽元素的元素。如果小于枢纽元素的元素个数大于k，则在小于枢纽元素的元素中递归查找第k小的元素；如果小于枢纽元素的元素个数加上等于枢纽元素的元素个数大于等于k，则直接返回枢纽元素；否则，在大于枢纽元素的元素中递归查找第k - (小于枢纽元素的元素个数加上等于枢纽元素的元素个数)小的元素。

由于每次随机选择枢纽元素，因此期望划分是平衡的，即小于枢纽元素的元素个数和大于枢纽元素的元素个数大致相等。因此，线性时间选择算法能够解决划分不平衡的问题。

3. 线性时间选择算法的计算效率分析

线性时间选择算法的时间复杂度为O(n)，其中n为序列中元素的个数。因为每次递归的规模是序列长度的一半，所以递归深度最多为log n。而每层递归的操作次数是O(n)，因此总的操作次数为O(n log n)。但是由于每次随机选择枢纽元素，期望划分是平衡的，因此每次递归的规模大致为序列长度的一半，因此递归深度为O(log n)。因此，线性时间选择算法的时间复杂度为O(n)。