线性回归最小二乘法推导

线性回归最小二乘法的推导是通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差来确定模型参数的方法。假设我们有一个线性模型：

y = θ0 + θ1 * x1 + θ2 * x2 + ... + θn * xn + ε

其中，y是因变量，x1, x2, ..., xn是自变量，θ0, θ1, θ2, ..., θn是模型的参数，ε是误差项。

我们的目标是找到一组参数θ使得模型的预测值与实际观测值之间的平方差最小。定义损失函数（平方差损失函数）：

J(θ) = (1/2m) * ∑(y_pred - y_obs)^2

其中，m是样本数量，y_pred是模型的预测值，y_obs是实际观测值。

为了最小化损失函数，我们需要对θ进行求导，并令导数为0。首先，将线性模型表示为向量形式：

y = Xθ + ε

其中，y是m维的观测向量，X是一个大小为m×(n+1)的设计矩阵，包含m个样本的n+1个特征（包括一个常数项1），θ是参数向量，ε是误差向量。

利用最小二乘法推导，我们可以得到参数θ的估计值：

θ_hat = (X^T X)^(-1) X^T y

其中，X^T表示X的转置，(X^T X)^(-1)表示X^T X的逆矩阵。

这样，通过最小二乘法推导，我们可以得到线性回归模型的参数估计值θ_hat。

相关问题

一元线性回归最小二乘法参数推导

一元线性回归的目标是找到一条直线来拟合数据，使得拟合线距离数据点的误差最小化。最小二乘法是一种常见的用来求解线性回归参数的方法。

假设我们有一组数据集合 {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，其中 xi 是自变量，yi 是因变量。一元线性回归模型可以表示为 y = β0 + β1*x，其中 β0 和 β1 是待求的参数。

最小二乘法的目标是找到使得误差平方和最小化的参数值。我们定义误差 e = y - (β0 + β1*x)，其中 e 是实际值与预测值之间的差异。我们将误差平方和定义为损失函数，即 L = ∑(e^2) = ∑((y - (β0 + β1*x))^2)。我们的目标是最小化损失函数 L。

为了求解最小二乘法的参数，我们需要对损失函数 L 进行优化。我们可以通过对 β0 和 β1 分别求导，令导数为 0，从而得到参数的闭式解。

首先对 β0 求导：
∂L/∂β0 = -2∑(y - (β0 + β1*x))
令导数为 0，得到：
∑y - n*β0 - β1*∑x = 0
解出 β0，得到：
β0 = (∑y - β1*∑x)/n

然后对 β1 求导：
∂L/∂β1 = -2∑x(y - (β0 + β1*x))
令导数为 0，得到：
∑xy - β0*∑x - β1*∑(x^2) = 0
将 β0 的值代入上式，得到：
∑xy - (∑y - β1*∑x)/n * ∑x - β1*∑(x^2) = 0
整理后可得：
∑xy - (∑x*∑y)/n = β1*(∑(x^2) - (∑x)^2/n)
解出 β1，得到：
β1 = (∑xy - (∑x*∑y)/n) / (∑(x^2) - (∑x)^2/n)
至此，我们得到了一元线性回归最小二乘法的参数推导。

最小二乘法，推导公式

最小二乘法是一种常用的数学优化技术，在回归分析中特别常见，用于估计模型参数以使误差平方和达到最小。对于线性模型，它假设输入变量和输出变量之间存在线性关系，通常表示为 \( y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \epsilon \)，其中 \( y \) 是因变量，\( \beta_0, \beta_1, \beta_2, ... \) 是待估参数，\( x_1, x_2, ... \) 是自变量，而 \( \epsilon \) 是随机误差项。

假设我们有一组数据点 \( (x_i, y_i) \)，i=1到n。最小二乘法的目标是最小化误差 \( e_i = y_i - f(x_i) \) 的平方和，即

\[
\min_{\beta_0, \beta_1} \sum_{i=1}^{n}(y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2
\]

对每个参数分别求偏导并设其等于零可以找到最优解。令偏导数为零得：

\[
\frac{\partial}{\partial \beta_0}\left(\sum e_i^2\right) = -2\sum e_i = 0 \\
\frac{\partial}{\partial \beta_1}\left(\sum e_i^2\right) = -2\sum x_ie_i = 0
\]

整理这两个方程，我们得到：

\[
\sum y_i = n\beta_0 + \beta_1\sum x_i \quad \text{(中心化)} \\
\sum x_iy_i = \beta_0\sum x_i + \beta_1\sum x_i^2
\]

从第一个方程，我们可以解出 \( \beta_0 \)：

\[
\beta_0 = \frac{1}{n}\left(\sum y_i - \beta_1\sum x_i\right)
\]

将 \( \beta_0 \) 的表达式代入第二个方程，得到 \( \beta_1 \)：

\[
\beta_1 = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}
\]

这就是最小二乘法估计线性回归参数的简单推导公式。一旦得到 \( \beta_0 \) 和 \( \beta_1 \)，我们就可以预测新的 \( y \) 值了。