交叉熵损失函数正例权重

交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss）在机器学习中特别是在深度学习和分类任务中被广泛使用，它衡量了模型预测的概率分布与真实标签之间差异的大小。对于正例权重，这是一个可选的调整项，通常用于不平衡数据集，当正例样本数量远少于负例样本时。

正例权重赋予了正例更高的权重，目的是在训练过程中给予正确预测正例更大的梯度影响，从而让模型更关注那些更难学习到的类别。具体来说，正例权重w_pos等于1除以正例的比例，这样正例的损失会被放大，而负例的损失保持不变或缩小（取决于具体实现）。数学公式可以表示为：

\[ L_i = -w_{pos} \cdot y_i \cdot \log(p_i) \]

其中：
- \( L_i \) 是单个样本的交叉熵损失
- \( w_{pos} \) 是正例权重
- \( y_i \) 是实际标签（如果是1表示正例，0表示负例）
- \( p_i \) 是模型预测的正例概率

相关问题

在图像分类中有没有比交叉熵损失函数更好的损失函数

交叉熵损失函数在许多图像分类任务中表现良好，但仍有其他损失函数可以尝试。以下是一些可能更好的损失函数：

1. Hinge Loss：适用于二分类问题，并鼓励模型将正例和负例分开。在图像分类中，可以将正例定义为正确标记的图像，将负例定义为错误标记的图像。

2. Triplet Loss：适用于人脸识别等问题，鼓励模型将同一类别的图像聚集在一起，将不同类别的图像分开。该损失函数需要三张图像：锚点图像、同类别图像和不同类别图像。

3. Focal Loss：适用于类别不平衡的问题，它通过缩小易分类的样本的权重来减少易分类的样本的影响。在图像分类中，往往存在一些类别的样本数量较少，该损失函数可以帮助模型更好地区分这些类别。

4. Dice Loss：适用于分割问题，该损失函数鼓励模型预测准确和完整的分割结果。

需要根据任务和数据集的不同进行选择，以获得更好的性能。

逻辑回归的损失函数求导

### 逻辑回归损失函数求导过程解释

对于逻辑回归而言，其核心在于通过最大化似然估计来找到最优参数 \(\theta\)。为了实现这一目标，在实践中通常会最小化负对数似然函数，即所谓的对数损失函数或交叉熵损失函数[^3]。

#### 对数损失函数定义

给定数据集 \(D=\{(x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})\}\)，其中\(x^{(i)}\) 表示第 \(i\) 个输入特征向量, \(y^{(i)}∈{0,1}\) 是对应的标签，则逻辑回归中的对数损失函数可以表示为：

\[l (\theta )= -\frac {1}{m}\sum _{i=1}^{m}[y ^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{(i)}))] \]

这里，

- \(h_\theta(x)\) 定义为预测概率：\[h_\theta(x)=g(z)=\frac{1}{1+\exp(-z)}\], 其中 \(z=\theta^Tx\)

上述表达式的目的是衡量模型输出的概率分布与真实标签之间的差异程度；当实际类别为正类时（\(y=1\)），希望模型给出较高的正值响应；反之亦然。因此，此公式能够有效地惩罚错误分类的情况[^4]。

#### 求解梯度

为了应用梯度下降方法更新权重参数 \(\theta_j\) ，需要计算损失函数关于各个参数的偏导数:

\[\begin{aligned}
\nabla_{\theta_j}J(\theta)&=\nabla_{\theta_j}-\frac{1}{m}\left [\sum_i y^{(i)}\log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{(i)}))\right ]\\
&=-\frac{1}{m}\sum_i[(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})x_j^{(i)}]\\
\end{aligned}\]

具体来说，对于每一个训练样本 \(i\) 和 特征维度 \(j\) :

- 如果 \(y^{(i)}=1\) , 则 \((y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})=(1-g(\theta^T x^{(i)}))<0\) 。此时减去一个小于零的数量意味着增加相应的权值以提高正例的可能性；

- 反之，如果 \(y^{(i)}=0\) , 那么 \((y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})=(-g(\theta^T x^{(i)}))>0\) . 减掉一个大于零的部分将会降低误报率。

综上所述，通过对损失函数进行适当变换并利用链式法则完成对其各分量的一阶微分运算后可得到用于指导迭代调整方向的信息——梯度向量。这使得可以通过不断沿反向传播路径累积误差信号的方式逐步逼近全局最优点[^2]。

def compute_gradient(X, y, theta):
    m = len(y)
    predictions = sigmoid(np.dot(X, theta))
    error = predictions - y
    grad = np.dot(X.T, error)/m
    return grad
    
def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))