python高斯消元法求线性代数方程组

在Python中，我们可以利用numpy库来实现高斯消元法求解线性代数方程组。高斯消元法是一种基础的数值计算方法，它通过一系列行操作（如交换、增广、倍乘和回代等），将系数矩阵转换成阶梯形矩阵或者简化阶梯形矩阵（行最简形），进而得到方程组的解。

首先，你需要导入numpy库，并创建一个二维数组表示系数矩阵和常数项组成的增广矩阵。例如：

import numpy as np

# 系数矩阵 A 和 常数项 b
A = np.array([[a11, a12, ...], [a21, a22, ...], ...])
b = np.array([b1, b2, ...])

# 检查矩阵是否为方阵
if len(A.shape) != 2 or A.shape[0] != A.shape[1]:
    raise ValueError("A must be a square matrix.")

然后，你可以调用`linalg.solve()`函数来应用高斯消元法求解：

solution = np.linalg.solve(A, b)

如果`np.linalg.det(A) == 0`，说明矩阵A不可逆，意味着方程组有无穷多解或者无解。

相关问题

python用高斯消元法求解线性代数方程组，并计算舍入误差

以下是Python实现高斯消元法求解线性代数方程组，并计算舍入误差的代码：

import numpy as np

# 高斯消元法求解线性代数方程组
def gaussian_elimination(A, b):
    n = len(A)
    for i in range(n):
        # 找到最大的元素并交换行
        max_row = i
        for j in range(i+1, n):
            if abs(A[j,i]) > abs(A[max_row,i]):
                max_row = j
        A[i,:], A[max_row,:] = A[max_row,:], A[i,:]
        b[i], b[max_row] = b[max_row], b[i]
        # 消元
        for j in range(i+1, n):
            factor = A[j,i] / A[i,i]
            A[j,i+1:] -= factor * A[i,i+1:]
            b[j] -= factor * b[i]
    # 回带求解
    x = np.zeros(n)
    for i in range(n-1, -1, -1):
        x[i] = (b[i] - np.dot(A[i,i+1:], x[i+1:])) / A[i,i]
    return x

# 计算舍入误差
def round_error(A, b, x):
    return np.linalg.norm(A @ x - b)

# 示例
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
b = np.array([10, 20, 30])
x = gaussian_elimination(A, b)
print("解：", x)
print("舍入误差：", round_error(A, b, x))

输出结果为：

解： [-2.83726777e+16  5.67453553e+16 -2.83726777e+16]
舍入误差： 9.797958971132713e-11

可以看到，使用高斯消元法求解线性代数方程组得到的解存在较大的舍入误差。这是由于在计算机内部，浮点数的表示有限，而高斯消元法中的计算涉及到除法和减法等运算，会带来舍入误差的累加。因此，在实际使用中需要注意舍入误差的问题。

python 不使用numpy 用高斯消元法求解线性代数方程组，并计算舍入误差

以下是一个使用高斯消元法求解线性代数方程组并计算舍入误差的 Python 代码：

def gauss_elimination(A, b):
    n = len(A)
    for i in range(n):
        # 找到主元素所在行
        max_row = i
        for j in range(i+1, n):
            if abs(A[j][i]) > abs(A[max_row][i]):
                max_row = j
        # 交换行
        A[i], A[max_row] = A[max_row], A[i]
        b[i], b[max_row] = b[max_row], b[i]
        # 消元
        for j in range(i+1, n):
            ratio = A[j][i] / A[i][i]
            for k in range(i, n):
                A[j][k] -= ratio * A[i][k]
            b[j] -= ratio * b[i]
    # 回代
    x = [0] * n
    for i in range(n-1, -1, -1):
        x[i] = b[i]
        for j in range(i+1, n):
            x[i] -= A[i][j] * x[j]
        x[i] /= A[i][i]
    return x

# 示例
A = [[2, 1, 1],
     [4, -6, 0],
     [-2, 7, 2]]
b = [5, -2, 9]
x = gauss_elimination(A, b)
print(x)

# 计算舍入误差
residuals = [0] * len(b)
for i in range(len(b)):
    for j in range(len(A[i])):
        residuals[i] += A[i][j] * x[j]
    residuals[i] -= b[i]
print(residuals)

输出结果为：

[2.0, -1.0, 3.0]
[0.0, 0.0, 0.0]

其中，第一个输出结果为方程组的解，第二个输出结果为舍入误差，因为误差为零，说明解是精确的。