怎么证明泊松分布是贝叶斯共轭先验？

泊松分布是一种离散概率分布，常用于描述随机事件在固定时间间隔内发生的次数。它作为指数家族的一员，在贝叶斯统计中具备共轭性，这意味着如果我们选择泊松分布作为似然函数，那么存在一些参数化的先验分布，它们也属于泊松分布家族，使得联合分布仍然是泊松分布。

证明泊松分布是其自身的共轭先验，我们可以从泊松分布的概率质量函数出发。假设观察到的随机变量 \( Y \) 服从泊松分布，参数为 \( \lambda \)，即 \( P(Y=y | \lambda) = \frac{\lambda^y}{y!}e^{-\lambda} \)。若我们选择一个Gamma分布作为先验分布，因为Gamma分布可以写作：

\[ P(\lambda | \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} \lambda^{\alpha - 1} e^{-\frac{\lambda}{\beta}} \]

其中 \( \alpha > 0 \) 和 \( \beta > 0 \) 是形状和率参数。

当我们将这两个分布组合起来形成后验分布时，会发现后验分布也是Gamma分布，其参数更新为：

\[ \alpha' = \alpha + y \]
\[ \beta' = \beta + 1 \]

这就展示了泊松分布的似然乘以Gamma分布的先验得到的新分布仍然是Gamma分布，因此泊松分布是其本身的共轭先验。