计算机图形学中点关平面对称的仿射变换矩阵

在计算机图形学中，点关于某平面的对称变换可以通过仿射变换来实现。仿射变换矩阵是一种线性变换，它保持直线的平行性，同时可以缩放、平移和旋转空间中的点。对于点关于平面的对称，我们通常涉及到二维情况，因为三维空间中的平面对称通常涉及投影。

假设我们有一个二维坐标系，其中平面的方程为 \(Ax + By + C = 0\)，而点 \(P(x, y)\) 需要被映射到其关于该平面的对称点 \(P'(x', y')\)，我们可以使用以下步骤构造仿射变换矩阵：

1. **找出法向量**：从平面方程得到法向量 \(\mathbf{n} = (A, B)\)。
2. **找到点到法线的距离**：计算 \(d = \frac{Ax + By + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)，这代表点到平面的距离。
3. **确定对称点**：由于对称点到原点的距离等于 \(d\)，我们有 \(x' = x - 2d\cdot \frac{\mathbf{n}_x}{||\mathbf{n}||}\) 和 \(y' = y - 2d\cdot \frac{\mathbf{n}_y}{||\mathbf{n}||}\)，其中 \(\mathbf{n}_x\) 和 \(\mathbf{n}_y\) 分别是法向量的x和y分量，\(||\mathbf{n}||\) 是法向量的长度。
4. **构建仿射矩阵**：将对称点的坐标作为新的基点，加上平移分量（-d\(\mathbf{n}\))，形成新的4x4变换矩阵。由于我们只关心前3行（因为最后一行全是0并表示平移），所以我们得到的矩阵形式为：

\[ \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2\frac{\mathbf{n}_x}{||\mathbf{n}||} \\
0 & 1 & -2\frac{\mathbf{n}_y}{||\mathbf{n}||} \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]