最优化实验最小二乘法

### 最小二乘法在最优化实验中的应用

#### 应用背景
最小二乘法是一种广泛应用于数据拟合的技术，旨在找到一条最佳拟合给定数据集的曲线。这种方法通过最小化观测值与模型预测值之间的平方差来确定最优参数组合[^1]。

#### 数学基础
当处理多变量线性回归问题时，假设存在 \(n\) 个自变量 \(\{x_1, x_2,...,x_n\}\)，以及对应的因变量 \(y\) 的关系可以表示为：

\[ y = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n + b \]

其中，\(a_i (i=1...n)\) 是待估计的系数，而 \(b\) 表示截距项。此表达式描述了一个高维度空间内的超平面结构[^3]。

#### Python实现案例
为了展示如何利用Python库`scipy.optimize.minimize`来进行基于最小二乘准则的最佳参数搜索，下面给出一段具体的代码片段作为示范:

from scipy.optimize import least_squares
import numpy as np

def model(params, t):
    """定义要拟合的数据模型"""
    A, B = params
    return A * np.exp(-B*t)

def residuals(params, t, data):
    """计算残差向量"""
    return model(params,t)-data 

# 假设已知时间序列t和对应测量值data
time_points = np.array([0., 1., 2., 3., 4.])
measured_values = np.array([5., 3.7, 2.8, 2.3, 1.9])

initial_guesses=[4,-0.5] # 对A,B初始猜测值设定
result = least_squares(residuals, initial_guesses, args=(time_points, measured_values))

print("Fitted Parameters:", result.x)

上述例子展示了怎样构建一个简单的指数衰减模型并采用最小二乘算法寻找最适合该组数据的两个未知数——振幅(A)和衰减速率(B)[^2]。