如何在Sketchpad项目中实现Bézier曲线绘制，并解释其数学原理？

在《20世纪60年代计算机图形学里程碑：Sketchpad与Bézier曲线》中，我们不仅能够了解Sketchpad这一开创性项目，还能深入研究Bézier曲线的理论和应用。为了实现Bézier曲线的绘制，我们首先需要理解Bézier曲线的数学基础。Bézier曲线是由法国工程师Pierre Bézier提出的，基于控制点的参数多项式曲线。对于一个给定的控制点序列P0, P1, ..., Pn，相应的Bézier曲线段定义为：

参考资源链接：[20世纪60年代计算机图形学里程碑：Sketchpad与Bézier曲线](https://wenku.csdn.net/doc/6o133gnjhu?spm=1055.2569.3001.10343)

B(t) = Σ(n choose i) * (1-t)^(n-i) * t^i * Pi，其中i从0到n，t是区间[0, 1]内的参数。

通过改变参数t，我们可以获得从P0到Pn的平滑曲线。绘制Bézier曲线通常需要使用迭代算法或直接根据上述定义进行计算。在Sketchpad项目中，我们可以通过以下步骤实现Bézier曲线的绘制：

1. 确定控制点：首先，我们需要定义一组控制点来确定曲线的大致形状。控制点数量决定曲线的阶数。

2. 计算多项式系数：根据控制点计算出多项式的系数，这将用于计算t在[0, 1]区间内的值。

3. 参数化绘制：使用参数t从0到1变化，计算出每一个t对应的曲线点B(t)。

4. 连接点绘制曲线：将计算得到的点按顺序连接，形成平滑的Bézier曲线。

在Sketchpad项目中，可以通过编程实现上述算法，比如使用JavaScript结合HTML5的Canvas API来绘制Bézier曲线。具体实现时，可以利用Canvas的quadraticCurveTo()或bezierCurveTo()方法来简化计算和绘制过程。

掌握Bézier曲线的绘制对于计算机图形学项目实战有着极其重要的意义。它不仅有助于理解复杂的图形算法，还可以应用在用户界面设计、动画制作、图像渲染等众多领域，是实现真实感图形的关键技术之一。

参考资源链接：[20世纪60年代计算机图形学里程碑：Sketchpad与Bézier曲线](https://wenku.csdn.net/doc/6o133gnjhu?spm=1055.2569.3001.10343)