绝对定位crlb推导

绝对定位CRLB（Cramer-Rao下界）是一种用于评估定位算法性能的指标，它表示了在理想条件下，定位算法的最小误差范围。CRLB的推导需要对定位问题的测量模型和误差模型进行建模，然后利用Fisher信息矩阵对CRLB进行计算。对于TOA（Time of Arrival）定位问题，CRLB的推导可以参考以下步骤：

1. 建立测量模型：假设有n个基站，第i个基站的位置为$P_i=[x_i,y_i]$，目标节点的位置为$P=[x,y]$，则第i个基站到目标节点的距离为$d_i=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}+v_i$，其中$v_i$为测量误差。

2. 建立误差模型：假设测量误差$v_i$服从均值为0，方差为$\sigma_i^2$的高斯分布，则测量模型可以表示为$p(d_i|P)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}}exp(-\frac{(d_i-\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2})^2}{2\sigma_i^2})$。

3. 计算Fisher信息矩阵：Fisher信息矩阵是对参数的一阶导数的期望值，对于TOA定位问题，参数为目标节点的位置$P=[x,y]$，因此Fisher信息矩阵可以表示为$I(P)=E[\frac{\partial^2}{\partial P^2}lnp(D|P)]$，其中$D=[d_1,d_2,...,d_n]$为测量向量。根据测量模型和误差模型，可以得到Fisher信息矩阵的表达式为$I(P)=\sum_{i=1}^n\frac{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}{\sigma_i^2}[\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}]$。

4. 计算CRLB：CRLB是Fisher信息矩阵的逆矩阵的对角线元素，即$CRLB(P)=diag[(I(P))^{-1}]$。对于TOA定位问题，CRLB的表达式为$CRLB(P)=\begin{bmatrix}\frac{\sum_{i=1}^n(x-x_i)^2\sigma_i^2}{(\sum_{i=1}^n(x-x_i)^2+(y-y_i)^2)\sum_{i=1}^n\sigma_i^2}&0\\0&\frac{\sum_{i=1}^n(y-y_i)^2\sigma_i^2}{(\sum_{i=1}^n(x-x_i)^2+(y-y_i)^2)\sum_{i=1}^n\sigma_i^2}\end{bmatrix}$。