一阶非齐次微分方程的通解

一阶非齐次线性微分方程的一般形式可以表示为：

\[ y'(x) + p(x)y(x) = g(x) \]

其中，\( y'(x) \) 表示 \( y \) 关于 \( x \) 的导数，\( p(x) \) 是某个已知函数（称为齐次项），而 \( g(x) \) 是所谓的非齐次项。对于这样的方程，其通解通常由两部分组成：齐次解和特解。

**1. 齐次解：**
如果去掉非齐次项 \( g(x) \)，即 \( y'(x) + p(x)y(x) = 0 \)，那么得到的就是对应的齐次方程。它的通解可以通过特征方程 \( r + p(x) = 0 \) 来求解，这里 \( r \) 是特征根。如果特征方程有实根，可能存在常数解、指数解或者周期性解；若特征方程无实根，则可能需要复数解或幂级数解。

**2. 特解：**
为了找到特定的非齐次解，我们需要将 \( g(x) \) 看作是一个“特定”的源项，利用分离变量法、待定系数法、格林函数法等技巧构造满足方程的特解。

**3. 通解公式：**
最终的一阶非齐次微分方程的通解 \( Y(x) \) 可以写作：
\[ Y(x) = C_1Y_h(x) + Y_p(x) \]
其中 \( C_1 \) 是积分常数，\( Y_h(x) \) 是齐次解，\( Y_p(x) \) 是由 \( g(x) \) 导出的特解。